Abrundungsfunktion

Intervallweise lineare Funktion

Bei intervallweise linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definierten Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. Intervallweise lineare Funktionen haben keinen durchgängigen sondern einen auf Intervalle eingeschränkten Definitionsbereich D_f.

Man bezeichnet solche zusammengesetzte Teilfunktionen auch „abschnittsweise linear“ oder „stückweise linear“. Zu den intervallweise linearen Funktionen gehören die Betragsfunktion, die Signumfunktion, die Integerfunktion und die Gaußklammerfunktion.

Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 2 Teilfunktionen zerlegt werden und hat eine Spitze an der Stelle f(0).

• Ist x eine positive Zahl, so ist abs x eine positive Zahl.
• Ist x = 0, so ist abs x gleich 0
• Ist x eine negative Zahl, so ist abs x der Betrag von x, also eine positive Zahl

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \left| x \right| \cr & f\left( x \right) = \operatorname{abs} x \cr & {D_f}:\left| x \right| = + x\,\,\forall x \geqslant 0\,\, \cup \,\, - x\,\,\forall x \leqslant 0 \cr}\)

Signumfunktion

Die Signumfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 3 Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an der Stelle x=0 zwei Sprungstellen. Obwohl 0 kein Vorzeichen hat, ist sgn 0 = 0.

• Ist x eine positive Zahl, so wird sgn x zu +1
• Ist x = 0, so wird sgn 0 zu 0
• Ist x eine negative Zahl, so wird sgn x zu -1

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{sgn} x \cr & {D_f}:\,\,\operatorname{sgn} x = + 1\,\,\forall x > 0\,\, \cup \,\, - 1\,\,\forall x < 0 \cr}\)

Integerfunktion

Die Integerfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert ≠ 0 annimmt eine Sprungstelle.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{int} x \cr & {D_f}:\operatorname{int} x = {\text{ganzahliger Teil von x }}\forall x \geqslant 0 \cup \forall x \leqslant 0 \cr}\)

Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion

Die Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion ordnen jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere (floor) oder nicht kleinere (ceiling) ganze Zahl zu. Beide Funktionen können in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert annimmt eine Sprungstelle.

In den beiden nachfolgenden Darstellungen wird das jeweilige Intervall durch

• einen vollen Punkt (Intervallgrenze enthalten)
• einen hohlen Punkt (Intervallgrenze nicht enthalten)
• den Strich dazwischen, für das Intervall selbst

veranschaulicht.

Abrundungs- oder Gaußklammerfunktion (floor)

Für eine reelle Zahl x ist floor x die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

• floor(3,7)=3
• floor(-3,1)=-4

Aufrundungsfunktion (ceiling)

Für eine reelle Zahl x ist ceiling x die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist

• ceiling(3,1)=4
• ceiling(-3,7)=-3

Abschnittsweise definierte Funktion

Unter einer abschnittsweise d.h. intervallweise definierten Funktion versteht man eine, aus zwei oder mehreren Funktionen zusammengesetzte Funktion, für jeweils unterschiedliche Intervalle der Zahlengeraden.

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left] {{g_1};{g_2}} \right[}\\ {{f_2}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left[ {{g_3};{g_4}} \right]{\rm{ }}}\\ {{f_3}\left( x \right){\rm{ mit x}} \in \left] {{g_5};{g_6}} \right[} \end{array}} \right.\)