Zerfallsprozess

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion

\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)

beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.

Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion 

\(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)

stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion  \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.

3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang  \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\)  verwenden.

4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zerfallsprozess

Der unten abgebildete Graph einer Funktion N stellt einen exponentiellen Zerfallsprozess dar; Dabei bezeichnet t die Zeit und N(t) die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge des zerfallenden Stoffes. Für die zum Zeitpunkt t = 0 vorhandene Menge gilt: N(0) = 800.

Mit t_H ist diejenige Zeitspanne gemeint, nach deren Ablauf die ursprüngliche Menge des zerfallenden Stoffes auf die Hälfte gesunken ist.

• Aussage 1: \({t_H} = 6\)
• Aussage 2: \({t_H} = 2\)
• Aussage 3: \({t_H} = 3\)
• Aussage 4: \(N\left( {{t_H}} \right) = 400\)
• Aussage 5: \(N\left( {{t_H}} \right) = 500\)

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

AHS - 1_279 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zerfallsprozess
Die Population P einer vom Aussterben bedrohten Tierart sinkt jedes Jahr um ein Drittel der Population des vorangegangenen Jahres. P₀ gibt die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Tiere an.

• Aussage 1: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^t}\)
• Aussage 2: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}\)
• Aussage 3: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{3} \cdot t} \right)\)
• Aussage 4: \(P\left( t \right) = \dfrac{{{P_0}}}{{3 \cdot t}}\)
• Aussage 5: \(P\left( t \right) = \dfrac{{2 \cdot {P_0}}}{3} \cdot t\)
• Aussage 6: \(P\left( t \right) = {\left( {{P_0} - \dfrac{1}{3}} \right)^t}\)

Aufgabenstellung
Welche der obenstehend angeführten Gleichungen beschreibt die Population P in Abhängigkeit von der Anzahl der abgelaufenen Jahre t? Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!