Zusammenhang Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge

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Periodische Funktion

Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist. Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periode T lang. Die Zeit T wird als die Periode bzw. als die Schwingdauer des Systems bezeichnet

\(x\left( {t + T} \right) = x\left( t \right)\)

Funktion p Funktion p: p(x) = f(x) + g(x) + h(x) Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) T Text9 = “T”

Frequenz

Die Frequenz ist ein Maß für die „Häufigkeit“ der Wiederholungen einer Schwingung pro Zeiteinheit. Ihre Einheit ist daher die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz (Hz) gemessen.

\(f = \dfrac{1}{T}\)

Periodendauer

Eine Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist.

\(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)

Funktion f f(x) = 2sin(2x - 10) Strecke g Strecke g: Strecke D, E Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” A_0 text2 = “A_0” A_0 text2 = “A_0” -A_0 text3 = “-A_0” -A_0 text3 = “-A_0” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” ${\varphi }$ text5 = “${\varphi }$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” A Text3 = “A”

Bei einer Schwingung vom Typ \(f\left( t \right) = {A_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\)gibt

  • A0 die Höhe der Amplitude an
  • \(\omega \) die Kreisfrequenz, gemessen in der Anzahl der vollen Schwingungen in einem Intervall der Länge \(2 \cdot \pi \)
  • \(\varphi\) den Phasenverschiebungswinkel , als den Winkel an um den der Nulldurchgang der Schwingung gegenüber t=0 verschoben ist.

Ein Anschauungsbeispiel aus der Elektrotechnik:

In der Elektrotechnik beträgt die Periodendauer bei in Europa gebräuchlichem 50 Hz Wechsel- oder Drehstrom 20 msec (1sec dividiert durch 50 Hz). Eine Halbperiode, das ist die Zeit von einem Nulldurchgang (=Vorzeichenwechsel) zum nächsten Nulldurchgang beträgt daher 10 msec (20msec : 2 Halbwellen). D.h. man muss maximal 10 msec warten, bis die betrachtete elektrische Größe für kurze Zeit zu Null wird.

Wellenlänge

Als Wellenlänge bezeichnet man bei einer wellenförmigen Ausbreitung den kleinsten Abstand zweier Punkte gleicher Phase. Die Wellenlänge errechnet sich indem man die Ausbreitungsgeschwindigkeit c im jeweiligen Medium durch die Frequenz dividiert. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauern. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(\lambda = \dfrac{c}{f}\)

Beispiele für Ausbreitungsgeschwindigkeiten:

  • Für Schallwellen: c = 343 m/s
  • Für elektromagnetische Wellen: c = 299 792 458 m/s

Zusammenhang zwischen Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge

Die Periodendauer T entspricht der Kehrwert der Frequenz, bzw. der Quotient aus Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit im jeweiligen Medium.

\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{\dfrac{c}{\lambda }}} = \dfrac{\lambda }{c}\)

Schwingung

Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periodendauer T lang. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauer. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(T = \dfrac{1}{f}\)

Harmonische Schwingung

Harmonische Schwingungen sind ein Sonderfall der periodischen Schwingung, da sie durch Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden können. Man bezeichnet die zeitliche Änderung des horizontalen bzw. des vertikalen Abstands eines Punktes P auf einer Kreisbahn als harmonische Schwingung. Die Darstellung des Punktes über seinen Ortsvektor wird als Vektor- oder Zeigerdiagramm bezeichnet.

  • Die zeitliche Änderung des horizontalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der y-Achse erzeugt eine reine Kosinusschwingung.
  • Die zeitliche Änderung des vertikalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der x-Achse erzeugt eine reine Sinusschwingung

Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, sin(x)) Funktion g g(x) = Wenn(x > 0, cos(x)) Strecke k Strecke k: Strecke C, E Strecke j Strecke j: Strecke D, F Strecke m Strecke m: Strecke F, G Strecke n Strecke n: Strecke A, H Vektor u Vektor u: Vektor(A, D) Vektor u Vektor u: Vektor(A, D) Punkt A A = (-3, 0) Punkt A A = (-3, 0) Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von c, i Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von c, i Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von k, xAchse Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von k, xAchse Punkt D' Punkt D': D gedreht um Winkel -(45°) Punkt D' Punkt D': D gedreht um Winkel -(45°) x(t) = sin(ωt) Text1 = “x(t) = sin(ωt)” x(t) = cos(ωt) Text2 = “x(t) = cos(ωt)”

Die Funktion u(t) beschreibt einen Schwingungsvorgang, wie er bei mechanischen oder elektrischen Schwingkreisen vorkommt.

\(\eqalign{ & u\left( t \right) = U \cdot \cos \left( {wt + \varphi } \right) \cr & u\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega t} \right) + b \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \cr & u\left( t \right) = U \cdot {e^{\left( {\omega t + \varphi } \right)}} \cr}\)

U die Amplitude der Schwingung (deren Maximalauslenkung)
\(\omega\) die Kreisfrequenz

Dabei gilt:

\(\eqalign{ & \omega = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr}\)

T die Schwingungsdauer
\(\varphi\) der Nullphasenwinkel, also der Winkel zum Zeitpunkt t=0

Änderung von Parametern einer harmonischen Schwingung

Über Parameter kann die Form der Schwingung verändert werden.

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

  • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
  • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
    Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
    \(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
  • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
    • Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
    • Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
  • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d
​Illustration 
  • In rot die Sinusfunktion.
  • In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
  • In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind.

Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = 0.75cos(x) Funktion h h(x) = sin(x + 1.57) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) sin(x) Text1 = “sin(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$”

Phasenverschiebung c zwischen Sinus und Kosinus

Anmerkung: In der Technik bevorzugt man die Sinus Darstellung gegenüber der Kosinus Darstellung. Dies ist immer möglich, da man durch Berücksichtigung einer Phasenverschiebung c die beiden Winkelfunktionen in einander umrechnen kann gemäß

  • \(\sin \left( x \right) = \cos \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
  • \(\cos \left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Periodische Funktion
Periodendauer
Schwingung
Frequenz f
Nulldurchgang
Wellenlänge
Zusammenhang Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge
Halbwelle
Harmonische Schwingung
Amplitude
Schwingungsdauer
Kreisfrequenz
Phasenverschiebung zwischen Sinus und Kosinus
Gleichung einer Schwingung
Phasenverschiebungswinkel
Parameter einer Schwingung

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Aufgabe 6023

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d. h. insbesondere, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion

\(g:t \mapsto - \dfrac{\pi }{8} \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} \cdot t} \right)\)

mit Definitionsmenge \({{\Bbb R}_0}^ + \)  beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und g(t) die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Die nachfolgende Abbildung zeigt den durch die Funktion g beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.

Funktion g g(x) = Wenn(0 < x < 8, (-π) / 8 sin(π / 2 x)) Atemstromstärke in l/s text1 = “Atemstromstärke in l/s” t in s text2 = “t in s”

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Berechnen Sie g(1,5)

2. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe der Abbildung plausibel.

4. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie \(\int\limits_2^4 {g\left( t \right)} \,\,dt\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

(Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5 )

Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson.

5. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe c in einem Koordinatensystem für \(0 \leqslant t \leqslant 8\) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

6. Teilaufgabe e.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an.

Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20% höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form

\(h:t \mapsto a \cdot \sin \left( {b \cdot t} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0{\text{ und }}\left( {b > 0} \right)\) beschrieben werden.

7. Teilaufgabe e.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie den Wert von b.

kostenlose Vorbereitung Mathe Abitur Bayern 2015 - Teil B - Analysis
Zusammenhang Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge
Sinus integrieren

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Aufgabe 1108

AHS - 1_108 & Lehrstoff: FA 6.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Variation einer trigonometrischen Funktion

Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)

Funktion f f(x) = Wenn[0 < x < 2π, sin(x)] f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)"

Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in die gegebene Abbildung den Graphen der Funktion \(g\left( x \right) = \sin \left( {2x} \right)\) ein!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.3
Variation einer trigonometrischen Funktion - 1108. Aufgabe 1_108
Zusammenhang Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge
Sinusfunktion
Parameter einer Sinusfunktion
Lösungsweg

Aufgabe 1793

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Wechselstrom

Bei sinusförmigem Wechselstrom ändert sich der Wert der Stromstärke periodisch. In der nachstehenden Abbildung ist die Stromstärke I(t) in Abhängigkeit von der Zeit t für einen sinusförmigen Wechselstrom dargestellt (t in s, I(t) in A).

beispiel_1793_2

Aufgabenstellung:
Geben Sie den Maximalwert der Stromstärke und die (kleinste) Periodenlänge dieses sinusförmigen Wechselstroms an.

  • Maximalwert: ___ A
  • (kleinste) Periodenlänge: ___s

[0 / ½ / 1 Punkt]

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.4
Wechselstrom - 1793. Aufgabe 1_793
Zusammenhang Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge
Amplitude