Wachstums- und Zerfallsprozesse

Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. 

Allgemeine Form einer Exponentialfunktion

\(f\left( x \right) = c \cdot {a^{\lambda \cdot x}}{\text{ mit c}}{\text{,}}\lambda \in {\Bbb R}{\text{, a}} \in {{\Bbb R}^ + }\)

Einfachste Form einer Exponentialfunktion

\(f\left( x \right) = {a^x}\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)

\(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\)

wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\)

• a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent
• alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0
• Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right.){\text{ und }}Q(1\left| a \right.)\)
• Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion
• Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten.
• für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
  • 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
    • z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
    • z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
  • a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1,3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion
  • 0<a<1: Exponentielle Abnahme: Der Graph verläuft streng monoton fallend, man spricht von einer Abnahmefunktion
  • a=1: Sonderfall: Wegen \(f\left( x \right) = {1^x} = 1\) wird die Funktion zu einer konstanten Funktion
  • a>1: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend. So bedeutet a=1,35 eine relative Zunahme um 35%. Man spricht von einer Wachstumsfunktion
  • a=e: natürliche Exponentialfunktion, hat die Eulersche Zahl e als Basis und x als Exponent
  • sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
• \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse
• Exponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, d.h. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
• Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
• Man kann Exponentialfunktionen (mit der Basis a) mittels \(f\left( x \right) = {a^x} = {e^{bx}}{\text{ mit b = }}\ln \left( a \right)\) in natürliche Exponentialfunktionen (mit der Basis e) umrechnen
• Die Funktionalgleichung besagt: \(f\left( x \right) \cdot f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)\)

Exponentialfunktion mit Anfangswert c

\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) mit \(c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)

\(f'\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cdot \ln a\)

• c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert, weil \(f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\)
• der Wert von c verändert die Steilheit vom Graph der Funktion
  • 0<c<1: gestaucht gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
  • c=1: identisch zu \(f\left( x \right) = {a^x}\)
  • c>1: gestreckt gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
  • sign c: ein negatives Vorzeichen von c kehrt das Monotonieverhalten gegenüber dem Verhalten von \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
• für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
  • 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
    • z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
    • z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
      • \(0 < a < 1\) und \(c > 0\): Exponentialfunktion bleibt monoton fallend
      • \(0 < a < 1\) und \(c < 0\): Exponentialfunktion wird monoton steigend
      • \(a > 1\) und \(c > 1\): Exponentialfunktion bliebt monoton steigend
      • \(a > 1\) und \(c < 1\): Exponentialfunktion wird monoton fallend
• für dem Exponenten x gilt
  • sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = c \cdot {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) um
  • \(\left| x \right|\): Je größer der Wert von x umso schneller steigt die Funktion an
• c entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0: f(x=0)=c
• Graph verläuft durch \(P(0\left| {c)} \right.\)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

übliche Schreibweise:
f(x) → N(t)
c→N₀
a→e

Wenn man die Halbwertszeit kennt, kann man das Lambda wie folgt berechnen:

\({T_{0,5}} = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{\lambda } \to \lambda = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{T}\)

• Exponentielles Wachstum: l ... Wachstumskonstante
  \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)

• Exponentieller Zerfall: -l Zerfallskonstante
  \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda t}}\)

Exponentialfunktion - Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a, bei fixem c=1

Exponentialfunktion - Interaktive Illustration

Die interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org:

Illustration auf GeoGebra.org anzeigen

• Regler a: Verändere die Basis
• Regler c: Verändere den Faktor

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Relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert

Nachfolgend betrachten wir die relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N(t + 1) = {N_0} \cdot {a^{t + 1}} = {N_0} \cdot {a^t} \cdot a = a \cdot N(t) \cr} \)

Für die relative Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der unabhängig von der Zeit t ist und daher in gleichen Zeitintervallen gleich groß ist:
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \dfrac{{N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{N\left( t \right)}} = a - 1\)

Für die absolute Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der abhängig von der Zeit ist, und daher in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich groß ist:
\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n} = a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)\)