Intervallweise lineare Funktion
Formel
Intervallweise lineare Funktion
Bei intervallweise linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definierten Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. Intervallweise lineare Funktionen haben keinen durchgängigen sondern einen auf Intervalle eingeschränkten Definitionsbereich Df.
Man bezeichnet solche zusammengesetzte Teilfunktionen auch „abschnittsweise linear“ oder „stückweise linear“. Zu den intervallweise linearen Funktionen gehören die Betragsfunktion, die Signumfunktion, die Integerfunktion und die Gaußklammerfunktion.
Betragsfunktion
Die Betragsfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 2 Teilfunktionen zerlegt werden und hat eine Spitze an der Stelle f(0).
- Ist x eine positive Zahl, so ist abs x eine positive Zahl.
- Ist x = 0, so ist abs x gleich 0
- Ist x eine negative Zahl, so ist abs x der Betrag von x, also eine positive Zahl
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \left| x \right| \cr & f\left( x \right) = \operatorname{abs} x \cr & {D_f}:\left| x \right| = + x\,\,\forall x \geqslant 0\,\, \cup \,\, - x\,\,\forall x \leqslant 0 \cr}\)
Signumfunktion
Die Signumfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 3 Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an der Stelle x=0 zwei Sprungstellen. Obwohl 0 kein Vorzeichen hat, ist sgn 0 = 0.
- Ist x eine positive Zahl, so wird sgn x zu +1
- Ist x = 0, so wird sgn 0 zu 0
- Ist x eine negative Zahl, so wird sgn x zu -1
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{sgn} x \cr & {D_f}:\,\,\operatorname{sgn} x = + 1\,\,\forall x > 0\,\, \cup \,\, - 1\,\,\forall x < 0 \cr}\)
Integerfunktion
Die Integerfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert ≠ 0 annimmt eine Sprungstelle.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{int} x \cr & {D_f}:\operatorname{int} x = {\text{ganzahliger Teil von x }}\forall x \geqslant 0 \cup \forall x \leqslant 0 \cr}\)
Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion
Die Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion ordnen jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere (floor) oder nicht kleinere (ceiling) ganze Zahl zu. Beide Funktionen können in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert annimmt eine Sprungstelle.
In den beiden nachfolgenden Darstellungen wird das jeweilige Intervall durch
- einen vollen Punkt (Intervallgrenze enthalten)
- einen hohlen Punkt (Intervallgrenze nicht enthalten)
- den Strich dazwischen, für das Intervall selbst
veranschaulicht.
Abrundungs- oder Gaußklammerfunktion (floor)
Für eine reelle Zahl x ist floor x die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.
- floor(3,7)=3
- floor(-3,1)=-4
Aufrundungsfunktion (ceiling)
Für eine reelle Zahl x ist ceiling x die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist
- ceiling(3,1)=4
- ceiling(-3,7)=-3
Abschnittsweise definierte Funktion
Unter einer abschnittsweise d.h. intervallweise definierten Funktion versteht man eine, aus zwei oder mehreren Funktionen zusammengesetzte Funktion, für jeweils unterschiedliche Intervalle der Zahlengeraden.
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left] {{g_1};{g_2}} \right[}\\ {{f_2}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left[ {{g_3};{g_4}} \right]{\rm{ }}}\\ {{f_3}\left( x \right){\rm{ mit x}} \in \left] {{g_5};{g_6}} \right[} \end{array}} \right.\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Aktuelle Lerneinheit
Intervallweise lineare Funktion | Bei intervallweisen linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definieren Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Wichtige Funktionswerte | Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. |
Grad einer Funktion | Der Grad einer Funktion ist gleich groß der Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x. |
Polynomfunktionen n-ten Grades | Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. |
Logarithmusfunktionen | Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion |
Wurzelfunktionen | Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x |
Potenzfunktionen | Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt. |
Natürliche Exponentialfunktion | Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis |
Exponentialfunktion | Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. |
Gebrochenrationale Funktionen | Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) sind zu den Potenzen der Argumenten x indirekt proportional. |
Quadratische Funktion | Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. |
Lineare Funktion | Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Achsenabschnitt auf der y-Achse ist. |
Nullstelle einer Funktion | Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). |
Periodische Funktion | Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird
|
Gerade und ungerade Funktionen | Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. |
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen | Umkehrbar eindeutig ist eine Funktion dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge eindeutig ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge genau ein Element x der Definitionsmenge gehört. |
Taylorpolynom | Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren |
Parameter von Funktionen | Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 196
Intervallweise differenzierbare Betragsfunktion
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \left| x \right|;\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Stelle, an der die Funktion eine Knickstelle hat, und aus diesem Grund dort nicht differenzierbar ist
2. Teilaufgabe: Ersetzte die Funktionsgleichung von f(x) durch abschnittsweise definierte Teilfunktionen ohne Betragszeichen
3. Teilaufgabe: Bestimme die 1. Ableitung f‘(x)
4. Teilaufgabe: Welche Steigung hat die Funktion f(x) links bzw. rechts von der Knickstelle
Aufgabe 197
Intervallweise differenzierbare Betragsfunktion
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \left| {\dfrac{2}{3}x - 1} \right|;\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Stelle , an der die Funktion eine Knickstelle hat, und aus diesem Grund dort nicht differenzierbar ist
2. Teilaufgabe: Ersetzte die Funktionsgleichung von f(x) durch abschnittsweise definierte Teilfunktionen ohne Betragszeichen
3. Teilaufgabe: Bestimme die 1. Ableitung f‘(x)
4. Teilaufgabe: Welche Steigung hat die Funktion f(x) links bzw. rechts von der Knickstelle
Aufgabe 198
Intervallweise differenzierbare Betragsfunktion
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \left| {{x^2} - 4} \right|;\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Stelle, an der die Funktion eine Knickstelle hat und aus diesem Grund dort nicht differenzierbar ist
2. Teilaufgabe: Ersetzte die Funktionsgleichung von f(x) durch abschnittsweise definierte Teilfunktionen ohne Betragszeichen
3. Teilaufgabe: Bestimme die 1. Ableitung f‘(x)
4. Teilaufgabe: Welche Steigung hat die Funktion f(x) links bzw. rechts von der Knickstelle
Aufgabe 197
Intervallweise differenzierbare Betragsfunktion
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \left| {\dfrac{2}{3}x - 1} \right|;\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Stelle , an der die Funktion eine Knickstelle hat, und aus diesem Grund dort nicht differenzierbar ist
2. Teilaufgabe: Ersetzte die Funktionsgleichung von f(x) durch abschnittsweise definierte Teilfunktionen ohne Betragszeichen
3. Teilaufgabe: Bestimme die 1. Ableitung f‘(x)
4. Teilaufgabe: Welche Steigung hat die Funktion f(x) links bzw. rechts von der Knickstelle
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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Aufgabe 198
Intervallweise differenzierbare Betragsfunktion
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \left| {{x^2} - 4} \right|;\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Stelle, an der die Funktion eine Knickstelle hat und aus diesem Grund dort nicht differenzierbar ist
2. Teilaufgabe: Ersetzte die Funktionsgleichung von f(x) durch abschnittsweise definierte Teilfunktionen ohne Betragszeichen
3. Teilaufgabe: Bestimme die 1. Ableitung f‘(x)
4. Teilaufgabe: Welche Steigung hat die Funktion f(x) links bzw. rechts von der Knickstelle