Phasenverschiebungswinkel

Der Phasenverschiebungswinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die jeweilige Nullstelle zweier beliebiger Schwingungen ist.

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Phasenlage von Strom und Spannung im Wechselstromkreis

Unter der Phasenlage versteht man die unterschiedlichen Zeitpunkte der Nulldurchgänge von 2 Sinusschwingungen (Strom u. Spannung), obwohl sie die gleiche Frequenz (50 Hz) haben. Die Phasenverschiebung wird als Winkel angegeben, wobei einer vollen Periode der Winkel von 360° bzw. \(2\pi\) entspricht.

Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis

Der Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) ist ein Maß für den zeitlichen Abstand der Nulldurchgänge von Spannung und Strom.

\(\eqalign{ & {\varphi _{Str}} = {\varphi _{u,\,Str}} - {\varphi _{i,\,Str}}; \cr & \varphi = {\varphi _u} - {\varphi _i}; \cr}\)

  • \(\varphi = 0^\circ\) Ohmscher Widerstand: Spannung und Strom liegen in Phase
  • \(\varphi = 90^\circ\) Induktivität: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus
  • \(\varphi = - 90^\circ\) Kapazität: Spannung eilt dem Strom um 90° nach

Ohmscher Widerstand

Beim ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung sind in Phase. Der komplexe Widerstand ZR hat nur einen Realteil aber keinen Imaginärteil

\(\eqalign{ & \dfrac{u}{R} = i \cr & {Z_R} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = R \cr & U{e^{j0}} = R{e^{j0}} \cdot I{e^{j0}} \cr} \)

Induktiver Widerstand

Beim induktiven Widerstand elt der Strom der Spannung nach. Die Spannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke. Eine ideale Spule (R=0) bewirkt, dass die Spannung dem Strom um \(\dfrac{\pi }{2} = 90^\circ\) voreilt. Der komplexe Widerstand XL wird auf der positiven imaginären Achse aufgetragen.

\(\eqalign{ & \dfrac{{\underline u }}{L} = \dfrac{{di}}{{dt}} = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cdot j\omega = \underline i \cdot j\omega \cr & {Z_L} = {X_L} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = j \cdot \omega L = \omega L \cdot {e^{j\dfrac{\pi }{2}}} = \omega L \cdot {e^{j90^\circ }} \cr & U{e^{j0}} = \omega L{e^{j\varphi }} \cdot I{e^{ - j\varphi }} \cr} \)

Kapazitiver Widerstand

Beim kapazitiven Widerstand eilt der Strom der Spannung vor. Die Stromstärke ist proportional zur Änderung der Spannung. Ein idealer Kondensator (\(R = \infty \)) ) bewirkt dass die Spannung dem Strom um \(- \dfrac{\pi }{2} = - 90^\circ\) nacheilt. Der komplexe Widerstand XC wird auf der negativen imaginären Achse aufgetragen.

\(\eqalign{
& \dfrac{{\underline i }}{C} = d\frac{{du}}{{dt}} = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _U}} \right)}} \cdot j\omega = \underline u \cdot j\omega \cr
& {Z_C} = {X_C} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = \dfrac{1}{{j\omega C}} = - j\dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j\dfrac{\pi }{2}}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j90^\circ }} \cr
& U{e^{j0}} = \dfrac{1}{{\omega C}}{e^{ - j\varphi }} \cdot I{e^{j\varphi }} \cr} \)

Phasenlage von Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis
Strom eilt Spannung nach
Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis
Spannung eilt Strom nach
Spannung proportional der Änderung der Stromstärke
Stromstärke proportional der Änderung der Spannung
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Phasenverschiebungswinkel

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Allgemeine Sinusfunktion

Für den Zeitpunkt t=0 ist die Amplitude einer Sinusfunktion null. Unmittelbar danach nehmen die Funktionswerte zu. Von einer allgemeinen oder phasenverschobenen Sinusfunktion spricht man, wenn die Amplitude einer Sinusfunktion zum Zeitpunkt t=0 ungleich Null ist. Der Vorteil dieser Notation ist, dass man etwa eine Kosinusfunktion als eine um 90° phasenverschobene Sinusfunktion darstellen kann. 

 

Änderung von Parametern einer allgemeinen Sinusfunktion

Über Parameter können Form und Lage vom Graph der allgemeinen Sinusfunktion verändert werden.

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

  • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
  • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
    Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
    \(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
  • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
    • Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
    • Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
  • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d

Statt der bei Winkelfunktionen vertrauten Schreibweise sin(x) verwenden wir die in der Elektrotechnik übliche Schreibweise \(\sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) da dadurch die Zeitabhängigkeit der Amplitude (=des Funktionswerts) klar zum Ausdruck gebracht wird.

\(\eqalign{ & y\left( t \right) = A_0 \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right) \cr & T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{1}{f} \cr & {t_0} = - \dfrac{\varphi }{\omega } \cr & \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr & f\left( x \right) = f\left( {x + T} \right) \cr}\)

Illustration einer phasenverschobenen Sinusfunktion

Funktion f f(x) = 2sin(2x - 10) Strecke g Strecke g: Strecke D, E Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” A_0 text2 = “A_0” A_0 text2 = “A_0” -A_0 text3 = “-A_0” -A_0 text3 = “-A_0” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” ${\varphi }$ text5 = “${\varphi }$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” A Text3 = “A”

A Amplitude (=maximale Auslenkung)
\(\omega \) Kreisfrequenz (Maß dafür, wie schnell die Schwingung abläuft)
\( \varphi\) Nullphasenwinkel (bei einer "allgemeinen" Schwingung ist die Amplitude zum Zeitpunkt t=0 größer oder kleiner - auf jeden Fall ungleich - als Null. 
T Schwingungsdauer (Periodendauer)
f Frequenz

 

Nullphasenwinkel

Der Nullphasenwinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die Nullstelle einer Schwingung y(t) zum Zeitpunkt t=0 im Vergleich zu einer reinen Sinusschwingung ist.

Phasenverschiebungswinkel

Der Phasenverschiebungswinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die jeweilige Nullstelle zweier beliebiger Schwingungen ist. Ein Beispiel für die physikalische Bedeutung ist der Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung etwa bei Drehstromsystemen als Maß für die unerwünschte Blindleistung Q gemäß \(Q = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \sin \varphi \)

  • Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem positiven Wert , so wird der Graph der Funktion nach links verschoben. 
  • Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem negativen Wert , so wird der Graph der Funktion nach rechts verschoben.
Illustration einer um +90° phasenverschobenen Sinusfunktion die somit zur Kosinusfunktion wird
  • In rot die Sinusfunktion
  • In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
  • In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind

Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = 0.75cos(x) Funktion h h(x) = sin(x + 1.57) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) sin(x) Text1 = “sin(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$”

Allgemeine Sinusfunktion
Amplitude
Kreisfrequenz
Nullphasenwinkel
Schwingungsdauer
Periodendauer
Frequenz f
Phasenverschiebungswinkel
Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion
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Periodische Funktion

Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist. Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periode T lang. Die Zeit T wird als die Periode bzw. als die Schwingdauer des Systems bezeichnet

\(x\left( {t + T} \right) = x\left( t \right)\)

Funktion p Funktion p: p(x) = f(x) + g(x) + h(x) Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) T Text9 = “T”

Frequenz

Die Frequenz ist ein Maß für die „Häufigkeit“ der Wiederholungen einer Schwingung pro Zeiteinheit. Ihre Einheit ist daher die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz (Hz) gemessen.

\(f = \dfrac{1}{T}\)

Periodendauer

Eine Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist.

\(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)

Funktion f f(x) = 2sin(2x - 10) Strecke g Strecke g: Strecke D, E Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” A_0 text2 = “A_0” A_0 text2 = “A_0” -A_0 text3 = “-A_0” -A_0 text3 = “-A_0” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” ${\varphi }$ text5 = “${\varphi }$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” A Text3 = “A”

Bei einer Schwingung vom Typ \(f\left( t \right) = {A_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\)gibt

  • A0 die Höhe der Amplitude an
  • \(\omega \) die Kreisfrequenz, gemessen in der Anzahl der vollen Schwingungen in einem Intervall der Länge \(2 \cdot \pi \)
  • \(\varphi\) den Phasenverschiebungswinkel , als den Winkel an um den der Nulldurchgang der Schwingung gegenüber t=0 verschoben ist.

Ein Anschauungsbeispiel aus der Elektrotechnik:

In der Elektrotechnik beträgt die Periodendauer bei in Europa gebräuchlichem 50 Hz Wechsel- oder Drehstrom 20 msec (1sec dividiert durch 50 Hz). Eine Halbperiode, das ist die Zeit von einem Nulldurchgang (=Vorzeichenwechsel) zum nächsten Nulldurchgang beträgt daher 10 msec (20msec : 2 Halbwellen). D.h. man muss maximal 10 msec warten, bis die betrachtete elektrische Größe für kurze Zeit zu Null wird.

Wellenlänge

Als Wellenlänge bezeichnet man bei einer wellenförmigen Ausbreitung den kleinsten Abstand zweier Punkte gleicher Phase. Die Wellenlänge errechnet sich indem man die Ausbreitungsgeschwindigkeit c im jeweiligen Medium durch die Frequenz dividiert. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauern. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(\lambda = \dfrac{c}{f}\)

Beispiele für Ausbreitungsgeschwindigkeiten:

  • Für Schallwellen: c = 343 m/s
  • Für elektromagnetische Wellen: c = 299 792 458 m/s

Zusammenhang zwischen Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge

Die Periodendauer T entspricht der Kehrwert der Frequenz, bzw. der Quotient aus Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit im jeweiligen Medium.

\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{\dfrac{c}{\lambda }}} = \dfrac{\lambda }{c}\)

Schwingung

Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periodendauer T lang. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauer. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(T = \dfrac{1}{f}\)

Harmonische Schwingung

Harmonische Schwingungen sind ein Sonderfall der periodischen Schwingung, da sie durch Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden können. Man bezeichnet die zeitliche Änderung des horizontalen bzw. des vertikalen Abstands eines Punktes P auf einer Kreisbahn als harmonische Schwingung. Die Darstellung des Punktes über seinen Ortsvektor wird als Vektor- oder Zeigerdiagramm bezeichnet.

  • Die zeitliche Änderung des horizontalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der y-Achse erzeugt eine reine Kosinusschwingung.
  • Die zeitliche Änderung des vertikalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der x-Achse erzeugt eine reine Sinusschwingung

Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, sin(x)) Funktion g g(x) = Wenn(x > 0, cos(x)) Strecke k Strecke k: Strecke C, E Strecke j Strecke j: Strecke D, F Strecke m Strecke m: Strecke F, G Strecke n Strecke n: Strecke A, H Vektor u Vektor u: Vektor(A, D) Vektor u Vektor u: Vektor(A, D) Punkt A A = (-3, 0) Punkt A A = (-3, 0) Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von c, i Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von c, i Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von k, xAchse Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von k, xAchse Punkt D' Punkt D': D gedreht um Winkel -(45°) Punkt D' Punkt D': D gedreht um Winkel -(45°) x(t) = sin(ωt) Text1 = “x(t) = sin(ωt)” x(t) = cos(ωt) Text2 = “x(t) = cos(ωt)”

Die Funktion u(t) beschreibt einen Schwingungsvorgang, wie er bei mechanischen oder elektrischen Schwingkreisen vorkommt.

\(\eqalign{ & u\left( t \right) = U \cdot \cos \left( {wt + \varphi } \right) \cr & u\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega t} \right) + b \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \cr & u\left( t \right) = U \cdot {e^{\left( {\omega t + \varphi } \right)}} \cr}\)

U die Amplitude der Schwingung (deren Maximalauslenkung)
\(\omega\) die Kreisfrequenz

Dabei gilt:

\(\eqalign{ & \omega = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr}\)

T die Schwingungsdauer
\(\varphi\) der Nullphasenwinkel, also der Winkel zum Zeitpunkt t=0

Änderung von Parametern einer harmonischen Schwingung

Über Parameter kann die Form der Schwingung verändert werden.

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

  • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
  • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
    Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
    \(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
  • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
    • Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
    • Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
  • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d
​Illustration 
  • In rot die Sinusfunktion.
  • In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
  • In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind.

Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = 0.75cos(x) Funktion h h(x) = sin(x + 1.57) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) sin(x) Text1 = “sin(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$”

Phasenverschiebung c zwischen Sinus und Kosinus

Anmerkung: In der Technik bevorzugt man die Sinus Darstellung gegenüber der Kosinus Darstellung. Dies ist immer möglich, da man durch Berücksichtigung einer Phasenverschiebung c die beiden Winkelfunktionen in einander umrechnen kann gemäß

  • \(\sin \left( x \right) = \cos \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
  • \(\cos \left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Periodische Funktion
Periodendauer
Schwingung
Frequenz f
Nulldurchgang
Wellenlänge
Zusammenhang Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge
Halbwelle
Harmonische Schwingung
Amplitude
Schwingungsdauer
Kreisfrequenz
Phasenverschiebung zwischen Sinus und Kosinus
Gleichung einer Schwingung
Phasenverschiebungswinkel
Parameter einer Schwingung