Sie wollen Jobs oder Produkte präsentieren?
Ihr Unternehmen als Recruiting- / Branding-Partner
1 exklusiver Partner ⇔ 1 Million Ad-Impressions
Interessiert? Kontaktieren Sie uns!
/

Eulersche Funktion

Hier findest du folgende Inhalte

1
Formeln
1
Aufgaben
Formeln
Wissenspfad

Natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion, Euler’sche Funktion genannt, ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & f\left( 0 \right) = {e^0} = 1 \cr & f'\left( x \right) = {e^x} \cr}\)

  • Die natürliche Exponentialfunktion ist eine speziell Exponentialfunktion, nämlich mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis: \(f\left( x \right) = {e^x} = {a^x}{\text{ mit }}a = e = 2,7182818..\)
  • Gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) zeichnet sich die e-Funktion durch ihre Steigung aus:
    • Als einzige Funktion f(x) ist ihre Ableitung f'(x) identisch mit der Funktion selbst.
    • Die Stammfunktion F(x) ist ebenfalls - die um c auf der x-Achse verschobene - Funktion f(x)
    • \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) = F(x) = {e^x}\)
    • \(f'\left( {x = 0} \right) = {e^0};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 1} \right) = {e^1};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 2} \right) = {e^2}\)
    • Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_1}(1\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_2}\left( {2\left| {{e^2}} \right.} \right),{\text{ usw}}.\)
  • Sie ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion
  • Sie dient zur Beschreibung von Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen.

Natürliche Exponentialfunktion mit Anfangswert N0
Exponentielles Wachstum, exponentieller Zerfall

\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)

  • N0 ... Startwert, Startwert
  • \(\lambda {\text{ > 0}}\) - positives l: Wachstumskonstante
  • \(\lambda {\text{ < 0}}\) - negatives l: Zerfallskonstante
Natürliche Exponentialfunktion - Illustration zeigt Wachstum für \(\lambda = + 1\) bzw. Zerfall für \(\lambda = - 1\)

Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, ℯ^x) Funktion g g(x) = Wenn(x > 0, ℯ^(-x)) f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t”

Natürliche Exponentialfunktion - Interaktive Illustration

Die interaktive Illustration einer natürlichen Exponentialfunktion zeigt die Wirkung von \(\lambda\) und von N0 auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen

  • Regler \(\lambda\): Entscheidet über Wachstum oder Zerfall
  • Regler N0: Entscheidet über Startwert

Wenn Du obigem Link folgst, verlässt Du unsere Website. Die Website des Fremdanbieters wird sich in einem neuen Fenster öffnen.

Natürliche Exponentialfunktion
Exponentielles Wachstum
Exponentielle Abnahme
Wachstumsprozess
Zerfallsprozess
Zerfallsfallsfaktor
Wachstumskonstante
Zerfallskonstante
Eulersche Funktion

Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

Startseite
Illustration Strandliegen 1050x450
Startseite
Aufgaben
Lösungsweg

Aufgabe 1700

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Werte einer Ableitungsfunktion

Gegeben ist die Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = 3 \cdot {e^x}\)

Aufgabenstellung:
Die nachstehenden Aussagen beziehen sich auf Eigenschaften der Funktion f bzw. deren Ableitungsfunktion f′. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

  • Aussage 1: Es gibt eine Stelle \(x \in {\ R}{\text{ mit f'}}\left( x \right) = 2\) 
  • Aussage 2: Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}f'\left( x \right) > f'\left( {x + 1} \right)\)
  • Aussage 3: Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}f'\left( x \right) = 3 \cdot f\left( x \right)\)
  • Aussage 4: Es gibt eine Stelle \(x \in {\Bbb R}{\text{ mit }}f'\left( x \right) = 0\)
  • Aussage 5: Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}f'\left( x \right) \geqslant 0\)

[0 / 1 Punkt]

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 2.1
Werte einer Ableitungsfunktion - 1700. Aufgabe 1_700
Eulersche Funktion

Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

Startseite
Illustration Strandliegen 1050x450
Startseite