Wurzelfunktionen
Formel
Wurzelfunktionen
Die Wurzelfunktion ist ein Spezialfall der Potenzfunktion und kann einfach in eine entsprechende Schreibweise umgeformt werden. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x. Der Graph aller Wurzelfunktionen startet im Ursprung \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) vom Koordinatensystem und verläuft durch den Punkt \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\). Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & {D_f} = {W_f} = {\Bbb R}_0^ + \cr & x \in {\Bbb R}_0^ + \cr & n \in {\Bbb N} \cr} \)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Aktuelle Lerneinheit
Wurzelfunktionen | Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Wichtige Funktionswerte | Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. |
Grad einer Funktion | Der Grad einer Funktion ist gleich groß der Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x. |
Polynomfunktionen n-ten Grades | Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. |
Logarithmusfunktionen | Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion |
Potenzfunktionen | Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt. |
Natürliche Exponentialfunktion | Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis |
Exponentialfunktion | Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. |
Gebrochenrationale Funktionen | Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) sind zu den Potenzen der Argumenten x indirekt proportional. |
Quadratische Funktion | Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. |
Intervallweise lineare Funktion | Bei intervallweisen linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definieren Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. |
Lineare Funktion | Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Achsenabschnitt auf der y-Achse ist. |
Nullstelle einer Funktion | Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). |
Periodische Funktion | Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird
|
Gerade und ungerade Funktionen | Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. |
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen | Umkehrbar eindeutig ist eine Funktion dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge eindeutig ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge genau ein Element x der Definitionsmenge gehört. |
Taylorpolynom | Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren |
Parameter von Funktionen | Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1532
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f mit \(f(x) = {x^{\dfrac{1}{2}}} + b\) und \((a,b \in {\Bbb R},a \ne 0)\) dargestellt. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Werte von a und b an!
Aufgabe 1316
AHS - 1_316 & Lehrstoff: FA 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Punkte einer Wurzelfunktion
Eine Wurzelfunktion kann durch die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\) mit \({\text{a}}{\text{,b}} \in {\Bbb R}\) festgelegt werden.
- Aussage 1: \({P_1} = \left( { - 1\left| a \right.} \right)\)
- Aussage 2: \({P_2} = \left( {0\left| b \right.} \right)\)
- Aussage 3: \({P_3} = \left( {a\left| b \right.} \right)\)
- Aussage 4: \({P_4} = \left( {b\left| {a \cdot b} \right.} \right) \)
- Aussage 5: \({P_5} = \left( {1\left| {a + b} \right.} \right)\)
Aufgabenstellung
Welche der nachstehenden Punkte liegen jedenfalls (bei jeder beliebigen Wahl von a und b) auf dem Graphen der Funktion f ? Kreuzen Sie die beiden entsprechenden Punkte an!
Aufgabe 6033
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion
\(f:x \mapsto \sqrt {16 - 2x} = \sqrt {2 \cdot \left( {8 - x} \right)} \)
mit maximalem Definitionsbereich Df . Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen Gf von f.
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeichnen Sie den Graphen der in \({{\Bbb R}_0}^ + \) definierten Funktion \(w:x \mapsto \sqrt x \) in oben stehende Abbildung ein.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie eine Möglichkeit dafür an, wie der Graph von f schrittweise aus dem Graphen von w hervorgehen kann.
3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den Gf und die y-Achse einschließen.
4. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass Gf keine waagrechte Tangente besitzt.
Für jedes \(x \in {D_f}{\text{ mit }}0 < x < 8\) wird ein Dreieck OPxQx mit den Eckpunkten
\(O\left( {0\left| 0 \right.} \right),\,\,\,{P_x}\left( {x\left| 0 \right.} \right){\text{ und }}{Q_x}\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right)\) festgelegt.
5. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Tragen Sie für x=4 das zugehörige Dreieck OP4Q4 in Abbildung 1 ein.
6. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass der Flächeninhalt A des Dreiecks OPxQx durch den Term
\(A\left( x \right) = \sqrt {4 \cdot {x^2} - \dfrac{1}{2} \cdot {x^3}} \) beschrieben wird.
Es gibt ein Dreieck OPxQx mit maximalem Flächeninhalt Amax .
7. Teilaufgabe d) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Bestimmen Sie den prozentualen Anteil von Amax am Inhalt der Fläche, die Gf im I. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.
Aufgabe 1510
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graphen und Funktionstypen
Im Folgenden sind sechs Funktionstypen angeführt, wobei die Parameter \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\) sind
A | \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\) |
B | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^{\dfrac{1}{2}}}\) |
C | \(f\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{{x^2}}}\) |
D | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) |
E | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3}\) |
F | \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\) |
Weiters sind die Graphen von vier Funktionen dargestellt.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen 1, 2, 3 und 4 jeweils den entsprechenden Funktionstyp (aus A bis F) zu!
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Aufgabe 1572
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionstypen
Im Folgenden sind vier Funktionsgleichungen (mit a, b ∈ ℝ+) angeführt und die Graphen von sechs reellen Funktionen dargestellt.
- Funktionsgleichung 1: \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
- Funktionsgleichung 2: \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
- Funktionsgleichung 3: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\)
- Funktionsgleichung 4: \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\)
- Graph A:
- Graph B:
- Graph C:
- Graph D:
- Graph E:
- Graph F:
Aufgabenstellung
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils den passenden Graphen (aus A bis F) zu!
Aufgabe 6007
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Funktionsterm aus gegebenen Eigenschaften eruieren
Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Die Funktion g hat die maximale Definitionsmenge \(\left] { - \infty ;5} \right]\)
Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebenen Eigenschaften besitzt.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Die Funktion k hat in x=2 eine Nullstelle und in x=-3 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von k hat die Gerade mit der Gleichung y =1 als Asymptote.
Aufgabe 4336
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bahnsteige - Aufgabe B_446
Teil a
Auf dem Bahnhof Linz wird eine Betonkonstruktion zur Überdachung eines Bahnsteigs verwendet. Die nachfolgende Abbildung zeigt eine vereinfachte Darstellung der Betonkonstruktion.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau markierten Fläche.
A =
[1 Punkt]
Der in der obigen Abbildung dargestellte Graph der Funktion f wird beschrieben durch:
\(f\left( x \right) = \sqrt {x - a} + b{\text{ mit x}} \geqslant {\text{a}}\)
x, f(x) | Koordinaten in m |
a, b | Parameter |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Parameter a und b der Funktion f ab.
- a =
- b =
[1 Punkt]
Aufgabe 1122
AHS - 1_122 & Lehrstoff: FA 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Potenzfunktion
Von einer Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) ist der Graph gegeben:
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Werte der Parameter a und b!
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Aufgabe 1437
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Potenzfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Potenzfunktion f vom Typ \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z}\) mit \(a \in {\Bbb R};\,\,\,a \ne 0;\,\,\,z \in {\Bbb Z}\) dargestellt.
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = 2 \cdot {x^{ - 4}}\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = - {x^{ - 2}}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = - {x^2}\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = - {x^{ - 1}}\)
- Aussage 5: \( f\left( x \right) = {x^{ - 2}}\)
- Aussage 6: \(f\left( x \right) = {x^{ - 1}}\)
Aufgabenstellung:
Eine der obenstehenden Gleichungen ist eine Gleichung dieser Funktion f. Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
Aufgabe 1622
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graphen quadratischer Funktionen
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen quadratischer Funktionen f1, f2 und f3 mit den Gleichungen \({f_i}\left( x \right) = {a_i} \cdot {x^2} + {b_i}\) wobei gilt: \({a_i},{b_i} \in {\Bbb R};\,\,\,\,\,i \in \left\{ {1,2,3} \right\}\)
Aufgabenstellung
Ordnen Sie die Parameterwerte ai und bi jeweils der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten!
- Parameterwerte ai: _______ < _______ < _______
- Parameterwerte bi: _______ < _______ < _______
Aufgabe 1484
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Potenzfunktionen
Gegeben sind die Graphen von vier verschiedenen Potenzfunktionen f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z}\) sowie sechs Bedingungen für den Parameter a und den Exponenten z. Dabei ist a eine reelle, z eine natürliche Zahl.
Aussage A | \(a > 0,\,\,z = 1\) |
Aussage B | \(a > 0,\,\,z = 2\) |
Aussage C | \(a > 0,\,\,z = 3\) |
Aussage D | \(a < 0,\,\,z = 1\) |
Aussage E | \(a < 0,\,\,z = 2\) |
Aussage F | \(a < 0,\,\,z = 3\) |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen 1..4 jeweils die entsprechende Aussage (aus A bis F) für den Parameter a und den Exponenten z der Funktionsgleichung zu!
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
Aufgabe 1532
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f mit \(f(x) = {x^{\dfrac{1}{2}}} + b\) und \((a,b \in {\Bbb R},a \ne 0)\) dargestellt. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Werte von a und b an!
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