Aufgabe 1004

AHS - 1_004 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Änderungsmaße

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = 0,1 \cdot {x^2}\)

Funktion f f(x) = Wenn[0 ≤ x ≤ 10, 0.1x²] f Text2 = "f"

  • Aussage 1: Die absolute Änderung in den Intervallen [0; 3] und [4; 5] ist gleich groß.
  • Aussage 2: Die mittlere Änderungsrate der Funktion f in den Intervallen [0; 2] und [2; 4] ist gleich.\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n}\)
  • Aussage 3: Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 5 hat den Wert 2,5.
  • Aussage 4: Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 2 ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 6.
  • Aussage 5: Die Steigung der Sekante durch die Punkte A = (3|f(3)) und B = (6|f(6)) ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 3.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die gegebene Funktion f zutreffend sind!

Lösungsweg

  • Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil man wie folgt zeigen kann:
    \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = 0,1 \cdot {x^2}\\ \\ f\left( 0 \right) = 0,1 \cdot {0^2} = 0\\ f\left( 3 \right) = 0,1 \cdot {3^3} = 0,9\\ f\left( 3 \right) - f\left( 0 \right) = 0,9 - 0 = 0,9\\ \\ f\left( 4 \right) = 0,1 \cdot {4^2} = 1,6\\ f\left( 5 \right) = 0,1 \cdot {5^2} = 2,5\\ f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2,5 - 1,6 = 0,9\\ \\ \Rightarrow f\left( 3 \right) - f\left( 0 \right) = f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) \end{array}\)

  • Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil man wie folgt zeigen kann:
    \(\begin{array}{l} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ \\ \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right)}}{{2 - 0}} = \dfrac{{\left( {0,1 \cdot {2^2}} \right) - \left( {0,1 \cdot {0^2}} \right)}}{2} = \dfrac{{0,4 - 0}}{2} = 0,2\\ \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( 4 \right) - f\left( 2 \right)}}{{4 - 2}} = \dfrac{{\left( {0,1 \cdot {4^2}} \right) - \left( {0,1 \cdot {2^2}} \right)}}{2} = \dfrac{{1,6 - 0,4}}{2} = 0,6\\ \\ \Rightarrow 0,2 \ne 0,6 \end{array}\)
  • Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil man wie folgt zeigen kann:
    \(\begin{array}{l} \dfrac{{dy}}{{{\mathop{\rm dx}\nolimits} }} = f'\left( {{x_0}} \right) = 2 \cdot 0,1 \cdot x = 0,2 \cdot x\\ \dfrac{{dy}}{{{\mathop{\rm dx}\nolimits} }} = f'\left( 5 \right) = 0,2 \cdot 5 = 1 \ne 2,5 \end{array}\)
  • Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil man wie folgt zeigen kann:
    \(\begin{array}{l} \dfrac{{dy}}{{{\mathop{\rm dx}\nolimits} }} = f'\left( {{x_0}} \right) = 2 \cdot 0,1 \cdot x = 0,2 \cdot x\\ \dfrac{{dy}}{{{\mathop{\rm dx}\nolimits} }} = f'\left( 2 \right) = 0,2 \cdot 2 = 0,4\\ \dfrac{{dy}}{{{\mathop{\rm dx}\nolimits} }} = f'\left( 6 \right) = 0,2 \cdot 6 = 1,2\\ \\ \Rightarrow f'\left( 2 \right) < f'\left( 6 \right) \end{array}\)
  • Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil man wie folgt zeigen kann:
    \(\begin{array}{l} f\left( 3 \right) = 0,1 \cdot {3^2} = 0,9\\ f\left( 6 \right) = 0,1 \cdot {6^2} = 3,6\\ A = \left( {3\left| {f\left( 3 \right)} \right.} \right) = \left( {3\left| {0,9} \right.} \right)\\ B = \left( {6\left| {f\left( 6 \right)} \right.} \right) = \left( {6\left| {3,6} \right.} \right)\\ {k_{AB}} = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( {{x_B}} \right) - f\left( {{x_A}} \right)}}{{{x_B} - {x_A}}} = \dfrac{{3,6 - 0,9}}{{6 - 3}} = \dfrac{{2,7}}{3} = 0,9\\ \\ \dfrac{{dy}}{{{\mathop{\rm dx}\nolimits} }} = f'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( 3 \right) = 0,1 \cdot 3 = 0,3\\ \Rightarrow {k_{AB}} = 0,9 > f'\left( 3 \right) = 0,3 \end{array}\)

 

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

  • Aussage 1: Richtig
  • Aussage 2: Falsch
  • Aussage 3: Falsch
  • Aussage 4: Falsch
  • Aussage 5: Richtig

Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.