Polynomfunktion 2. Grades
In einer Polynomfunktion 2. Grades kommt die Variable x lediglich mit dem Expoenten 2 vor.
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Formeln
Grad einer Funktion
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Polynomfunktionen, auch ganzrationale Funktionen genannt, bestehen aus einer Summe bzw. Differenz von Termen, den sogenannten Gliedern. Diese Glieder sind ihrerseits das Produkt aus einer Zahl und einer Potenz, etwa 2x². Zur besseren Lesbarkeit werden die Glieder geordnet nach der Höhe ihrer Exponenten angeschrieben. Der höchste vorkommende Exponent der Variablen, gibt zugleich den Grad der Polynomfunktion an. So handelt es sich bei 2x²+x um eine Polynomfunktion zweiten Grades.
Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über deren Graph herleiten:
- Eine konstante Funktion, die nicht konstant null ist, hat den Grad 0. Ihr Graph ist eine horizontale Gerade.
- Eine lineare Funktion hat den Grad 1. Ihr Graph ist eine steigende oder fallende Gerade.
- Eine quadratische Funktion hat den Grad 2. Ihr Graph ist eine Parabel.
- Eine kubische Funktion hat den Grad 3. Ihr Graph weist einen s-förmigen Verlauf auf.
- Eine Polynomfunktion vom 4. Grad kann einen w-förmigen Verlauf haben.
Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über besondere Funktionswerte herleiten:
- Der Grad einer Funktion ist gleich der maximalen Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Vergleiche dazu den „Fundamentalsatz der Algebra“, welcher für den Bereich der komplexe Zahlen gilt.
- Grad einer Funktion minus 1, ergibt die maximale Anzahl der Extremstellen.
- Grad einer Funktion minus 2, ergibt die maximale Anzahl der Wendestellen.
-
Wenn der höchste Exponent der Funktion gerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte das gleiche Vorzeichen haben.
-
Wenn der höchste Exponent der Funktion ungerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte unterschiedliche Vorzeichen haben.
Graphen von Funkionen unterschiedlichen Grades
Die Beschriftung vom Graph der jeweiligen Funktion erfolgt einmal in der Polynomform und einmal in der Linearfaktordarstellung, in der man die Nullstellen der Funktion sofort ablesen kann, indem man dasjenige x bestimmt, für das der Wert der jeweiligen Klammer zu Null wird:
Funktion vom 0. Grad: Konstante Funktion
Funktion vom 1. Grad: Gerade, ob sie steigt oder fällt hängt vom Parameter vor der linearen Variable ab
Funktion vom 2. Grad: Parabel
Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von links unten nach rechts oben
Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von rechts oben nach links unten
Funktion vom 4. Grad: W-förmiger Kurvenverlauf
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Aufgaben
Aufgabe 4181
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pelletsheizung - Aufgabe A_068
Teil c
Bei einer Lieferung werden die Pellets in einer Höhe von 2 m durch einen Einblasstutzen in einen Lagerraum waagrecht eingeblasen. Eine aufgehängte Schutzmatte soll dabei verhindern, dass die Pellets brechen, wenn die Einblasgeschwindigkeit zu groß ist. Die Flugbahn eines Pellets kann modellhaft durch den Graphen der folgenden quadratischen Funktion beschrieben werden:
\(h\left( x \right) = - \dfrac{{5 \cdot {x^2}}}{{{v_0}^2}} + 2\)
mit
x ... waagrechte Entfernung vom Einblasstutzen in m
h(x) ... Flughöhe eines Pellets über dem Boden bei der Entfernung x in m
v0 ... Einblasgeschwindigkeit in m/s
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion h für eine Einblasgeschwindigkeit von v0 = 4 m/s ein.
[1 Punkt]
Bei einer anderen Einblasgeschwindigkeit trifft das Pellet gerade noch das untere Ende der 1 m langen Schutzmatte.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie diese Einblasgeschwindigkeit.
[1 Punkt]
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Aufgabe 1087
AHS - 1_087 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung
Der Graph der Polynomfunktion f mit \(f\left( x \right) = {x^2} + px + q\) berührt die x-Achse. Welcher Zusammenhang besteht dann zwischen den Parametern p und q?
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Es gibt in diesem Fall _____________1_________ mit der x-Achse, deshalb gilt ______________2_____________ .
| 1 | |
| keinen Schnittpunkt | A |
| einen Schnittpunkt | B |
| zwei Schnittpunkte | C |
| 2 | |
| \(\dfrac{{{p^2}}}{4} = q\) | I |
| \(\dfrac{{{p^2}}}{4} < q\) | II |
| \(\dfrac{{{p^2}}}{4} > q\) | III |
Aufgabe 1028
AHS - 1_028 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\text{ mit }}a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}\). Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt A = (2|4) und berührt die x-Achse im Koordinatenursprung.
- Aussage 1: \(f\left( 0 \right) = 0\)
- Aussage 2: \(f\left( 4 \right) = 2\)
- Aussage 3: \(f\left( 2 \right) = 4\)
- Aussage 4: \(f'\left( 0 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f'\left( 2 \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1022
AHS - 1_022 & Lehrstoff: FA 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionale Abhängigkeit
Die in der nachstehenden Abbildung dargestellte Polynomfunktion 2. Grades beschreibt die Höhe (in m) eines senkrecht nach oben geworfenen Körpers in Abhängigkeit von der Zeit (in s).
- Aussage 1: Der Körper befindet sich nach einer Sekunde und nach vier Sekunden in 20 m Höhe.
- Aussage 2: Nach fünf Sekunden ist der Körper in derselben Höhe wie zu Beginn der Bewegung.
- Aussage 3: Der Körper erreicht maximal 30 m Höhe.
- Aussage 4: Der Körper befindet sich nach 4,8 Sekunden in einer Höhe von 10 m.
- Aussage 5: Der Körper befindet sich nach ca. 2,5 Sekunden in der maximalen Höhe.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1430
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graph einer Ableitungsfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ einer Funktion f. Die Funktion f ′ ist eine Polynomfunktion zweiten Grades.
- Aussage 1: Die Funktion f ist eine Polynomfunktion dritten Grades.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [0; 4] streng monoton steigend.
- Aussage 3: Die Funktion f ist im Intervall [–4; –3] streng monoton fallend.
- Aussage 4: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine Wendestelle.
- Aussage 5: Die Funktion f ist im Intervall [–4; 4] links gekrümmt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
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Aufgabe 1269
AHS - 1_269 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parabel
Der Graph einer Polynomfunktion zweiten Grades mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) ist eine Parabel.
- Aussage 1: \(a < 0\)
- Aussage 2: \(a > 0\)
- Aussage 3: \(b = 0\)
- Aussage 4: \(b < 0\)
- Aussage 5: \(c = 0\)
Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten a, b und c jedenfalls erfüllen, damit die Parabel (so wie in der Skizze) nach unten offen ist und ihren Scheitel auf der y-Achse hat?
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1040
AHS - 1_040 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grad einer Polynomfunktion
Gegeben sind Ausschnitte der Graphen von fünf Polynomfunktionen f1 bis f5. Die Ausschnitte enthalten alle Extrem- und Wendepunkte der Graphen.
Zum weiterlesen bitte Aufklappen:
- Aussage 1: Die Polynomfunktion f1 hat den Grad 2.
- Aussage 2: Die Polynomfunktion f2 hat den Grad 2.
- Aussage 3: Die Polynomfunktion f3 hat den Grad 4.
- Aussage 4: Die Polynomfunktion f4 hat den Grad 3.
- Aussage 5: Die Polynomfunktion f5 hat den Grad 3.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) zum Grad an!