Aufgabe 1027
AHS - 1_027 & Lehrstoff: AN 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ermittlung einer Funktionsgleichung
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = {x^2} + bx + c{\text{ mit }}b,\,\,c \in \mathbb{R}\). Der Graph der Funktion f verläuft durch den Ursprung. Die Steigung der Funktion im Ursprung hat den Wert null.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Werte der Parameter b und c und geben Sie die Gleichung der Funktion f an!
Lösungsweg
Wir können die gesuchte Funktionsgleichung
- entweder über den
- bekannten Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse und
- die bekannte Steigung der Geraden im Ursprung
- oder mit Hilfe vom Satz von Vieta
- der einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten b und c und den Nullstellen x1 und x2 herstellt
ermitteln.
Man kann folgern:
- Die Funktion f verläuft durch den Koordinatenursprung, daher gilt: \(f\left( 0 \right) = 0 \to c = 0\)
- Die Steigung der Funktion im Koordinatenursprung hat den Wert null, daher gilt: \(f'\left( 0 \right) = 0 \to f'\left( {x = 0} \right) = 2x + b \to b = 0\)
- → Die gesuchte Funktionsgleichung lautet daher: \(f\left( x \right) = {x^2}\)
Man kann aber auch so folgern:
-
Wenn die Steigung der Funktion im Ursprung den Wert null hat, so muss hier entweder ein HP oder ein TP liegen. Ebenso muss hier eine NST liegen. Und zwar eine doppelt NST (x1=x2=0) wegen der Extremstelle (HP oder TP).
Mit Hilfe des Satzes von Vieta können wir wie folgt schließen:-
\(\eqalign{ & f(x) = {x^2} + bx + c \cr & {x_1} = {x_2} = 0 \cr & \cr & {\text{Satz von Vieta:}} \cr & \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \left( {0 + 0} \right) = - b \to b = 0 \cr & {x_1} \cdot {x_2} = 0 \cdot 0 = c = 0 \cr} \)
-
-
→ Die gesuchte Funktionsgleichung lautet daher: \(f\left( x \right) = {x^2}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( x \right) = {x^2}\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn die Funktionsgleichung angegeben ist.