Aufgabe 4082

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Flussläufe und Pegelstände -Aufgabe A_266

Teil b

Auf einem annähernd geradlinig verlaufenden Abschnitt eines Flusses soll das Flussbett verbreitert und vertieft werden. In der nachstehenden Abbildung ist das Flussbett im Querschnitt dargestellt.

Bogen c Bogen c: Umkreisbogen(A, F, B) Bogen d Bogen d: Umkreisbogen(C, G, D) Strecke f Strecke f: Strecke H, I Strecke g Strecke g: Strecke N, O Strecke h Strecke h: Strecke P, Q Strecke i Strecke i: Strecke R, S Strecke j Strecke j: Strecke T, U Strecke k Strecke k: Strecke Z, A_1 Vektor u Vektor u: Vektor(J, K) Vektor u Vektor u: Vektor(J, K) Vektor v Vektor v: Vektor(K, J) Vektor v Vektor v: Vektor(K, J) Vektor w Vektor w: Vektor(L, M) Vektor w Vektor w: Vektor(L, M) Vektor a Vektor a: Vektor(M, L) Vektor a Vektor a: Vektor(M, L) Vektor b Vektor b: Vektor(V, W) Vektor b Vektor b: Vektor(V, W) Vektor e Vektor e: Vektor(W, V) Vektor e Vektor e: Vektor(W, V) Vektor l Vektor l: Vektor(B_1, C_1) Vektor l Vektor l: Vektor(B_1, C_1) Vektor m Vektor m: Vektor(D_1, E_1) Vektor m Vektor m: Vektor(D_1, E_1) 30m Text1 = “30m” 35m Text2 = “35m” f Text3 = “f” h Text4 = “h” 3m Text5 = “3m” y in m Text6 = “y in m” x in m Text7 = “x in m”

mit

f Profillinie des ursprünglichen Flussbetts
h Profillinie des neuen Flussbetts

f und h sind Polynomfunktionen 2. Grades mit zur y-Achse symmetrischen Graphen.

Ein Teilstuck des Flussbetts mit der Lange L (in m) wird ausgebaggert.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem folgenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird:
\(2 \cdot \left| {\int\limits_0^{17,5} {h\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_0^{15} {f\left( x \right)\,\,dx} } } \right| \cdot L\)

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Gleichung der Funktion h.
[1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe

  • Das 1. Integral berechnet die Fläche die zwischen der x-Achse und der Funktion h in der rechten Bachhälfte liegt
  • Das 2. Integral berechnet die Fläche die zwischen der x-Achse und der Funktion f in der rechten Bachhälfte liegt
  • Da der Bach eine linke und eine rechte Hälfte hat, ist der Betrag von der Differenz der beiden Flächen mit 2 zu multiplizieren
  • Multipliziert man diese Fläche mit der Länge L so erhält man das insgesamt ausgehobene Volumen

→ Mit dem Ausdruck wird das Volumen des dabei anfallenden Aushubs in m3 berechnet.

2. Teilaufgabe

Mit einer linearen Funktion können wir die Profillinie vom Flussbett nicht abbilden, wir wählen daher die nächst einfachere Funktion, eine quadratische Polynomfunktion gemäß

\(h\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\)

Wir haben zwei Unbekannte, a und b. Daher benötigen wir zwei Bestimmungsgleichungen, wie folgt:
\(\begin{array}{l} Gl.1:h\left( 0 \right) = - 3\\ - 3 = a \cdot {0^2} + b \Rightarrow b = - 3 \end{array}\)

und
\(\begin{array}{l} Gl.2:h\left( {17,5} \right) = 0\\ 0 = a \cdot {17,5^2} + b\\ 0 = a \cdot {17,5^2} - 3\\ {17,5^2} \cdot a = 3\\ a = \dfrac{3}{{{{17,5}^2}}} = \dfrac{3}{{306,25}}\left( { = \dfrac{{12}}{{1225}}} \right) \end{array}\)

Somit können wir die gesuchte Funktion wie folgt anschreiben:
\(h\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{17,5}^2}}} \cdot {x^2} - 3\)

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe
Mit dem Ausdruck wird das Volumen des dabei anfallenden Aushubs in m3 berechnet.

2. Teilaufgabe
\(h\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{17,5}^2}}} \cdot {x^2} - 3\)

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
1 × C: Für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der Einheit (KA)

2. Teilaufgabe
1 × A: Für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KA)