Aufgabe 6018

1. Teilaufgabe:

1. Term:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ = }} \cr & {\text{ = }}\dfrac{{1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{(x + 1) \cdot \left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{1 \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}} = \cr & = \dfrac{{\left( {x + 3} \right) - (x + 1)}}{{(x + 1) \cdot \left( {x + 3} \right)}} = \cr & = \dfrac{{x + 3 - x - 1}}{{(x + 1) \cdot \left( {x + 3} \right)}} = \cr & = \dfrac{2}{{(x + 1) \cdot \left( {x + 3} \right)}}\,\,\,\,\,{\text{wzbw}}{\text{.}} \cr} \)

2. Term:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ = }} \cr & {\text{ = }}\dfrac{{1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{(x + 1) \cdot \left( {x + 3} \right)}} - \frac{{1 \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}} = \cr & = \dfrac{{\left( {x + 3} \right) - (x + 1)}}{{(x + 1) \cdot \left( {x + 3} \right)}} = \cr & = \dfrac{{x + 3 - x - 1}}{{{x^2} + 3x + x + 3}} = \cr & = \dfrac{2}{{{x^2} + 4x + 3}}\,\,\,\,\,{\text{wzbw}}{\text{.}} \cr} \)

3. Term:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ = }} \cr & {\text{ = }}\dfrac{{1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{(x + 1) \cdot \left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{1 \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}} = \cr & = \dfrac{{\left( {x + 3} \right) - (x + 1)}}{{(x + 1) \cdot \left( {x + 3} \right)}} = \cr & = \dfrac{{x + 3 - x - 1}}{{{x^2} + 3x + x + 3}} = \cr & = \frac{2}{{{x^2} + 4x + 3}} = \cr & = \dfrac{2}{{\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - 1}} = \cr & = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1}} = \cr & = \dfrac{{0,5 \cdot 2}}{{0,5 \cdot \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]}} = \cr & = \dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( {x + 2} \right)}^2} - 0,5}}\,\,\,\,\,wzbw \cr} \)

2. Teilaufgabe:

x-Achse horizontale Asymptote von G_f

• Damit die x-Achse eine Asymptote ist, muss Zählergrad < Nennergrad gelten, was hier der Fall ist.
• Für \(x \to \pm \infty \) werden die beiden Nenner immer größer. Dadurch wird der Quotient immer kleiner und so nähert sich der Funktionswert f(x) dem Wert y=0 asymptotisch an.

Horizontale Asymptote:
\(f\left( x \right) = 0\)

3. Teilaufgabe:

Gleichungen der vertikalen Asymptoten von G_f

• Senkrechte (=vertikale) Asymptoten sind dort, wo sich die Polstellen (Definitionslücken) einer Funktion befinden und in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich streben. Die senkrechten Asymptoten finden sich dort, wo der Nenner Nullstellen hat, die aber keine Nullstellen vom Zähler sind.
• Die Nullstellen vom Nenner kann man direkt zu x=-1 und x=-3 ablesen. Der Zähler hat keine Nullstellen.

Vertikale Asymptoten:
\(x = - 1;{\text{ und }}x = - 3\)

4. Teilaufgabe:

Koordinaten des Schnittpunkts von G_f mit der y-Achse

• Am Schnittpunkt von G_f mit der y-Achse gilt: x=0
  \(\eqalign{ & f\left( {x = 0} \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}} = \cr & = \dfrac{1}{{0 + 1}} - \dfrac{1}{{0 + 3}} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \cr} \)

Schnittpunkt:

\(S = \left( {0\left| {\dfrac{2}{3}} \right.} \right)\)

5. Teilaufgabe:

x=-2 einzige Nullstelle von f‘

Wir fassen die Angabe wie folgt zusammen:
\(\eqalign{ & p(x) = 0,5 \cdot {\left( {x + 2} \right)^2} - 0,5 \cr & {\text{p(x): NST: }}x = - 3{\text{ und }}x = - 1 \cr & \cr & f(x) = \dfrac{1}{{p\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( {x + 2} \right)}^2} - 0,5}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{{p'\left( x \right)}}{{{{\left( {p\left( x \right)} \right)}^2}}} \cr & {\text{f'(x): NST: }}x = - 2 \cr} \)

Wir entnehmen dem gegebenen Graph p(x) dass dieser an der Stelle x=-2 eine Extremstelle (lokales Minimum) hat. Gemäß der NEW-Regel muss daher die 1. Ableitung, also p‘(x) an dieser Stelle eine Nullstelle haben. p‘(x=-2)=0.

Da die gegebene Parabel nur eine Extremstelle hat, kann es auch nur eine Nullstelle für p‘(x) geben.

Alternativ:
Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion und eine lineare Funktion kann nur 1. Nullstelle haben.

\(p'\left( x \right) = 0 \to f'\left( x \right) = - \dfrac{{p'\left( x \right) = 0}}{{{{\left( {p\left( x \right)} \right)}^2}}} = 0\)

An der Stelle x=-2 liegt die einzige Nullstelle von f‘(x).

6. Teilaufgabe:

G_f in \(\left] { - 3;2} \right[\) streng monoton steigend:

• Im Intervall \(\left] { - 3;2} \right[\) ist der Graph der gegebenen Funktion p(x) streng monoton fallend.
• Wenn p(x) streng monoton fallend ist, dann muss p‘(x)<0 gelten
• Somit gilt
  \(f'\left( x \right) = - \dfrac{{p'\left( x \right) < 0}}{{{{\left( {p\left( x \right)} \right)}^2}}} \to f'\left( x \right) > 0\)
  (Vor dem Bruch steht ein Minus, im Zähler steht ein Minus, daher ist der Quotient positiv.)
• \(f'\left( x \right) > 0 \to \operatorname{f} {\text{ steigt streng monoton wzbw}}\)

7. Teilaufgabe:

G_f in \(\left] { - 2; - 1} \right[\)streng monoton fallend:

• Im Intervall \(\left] { - 2; - 1} \right[\) ist der Graph der gegebenen Funktion p(x) streng monoton steigend.
• Wenn p(x) streng monoton steigend ist, dann muss p‘(x)>0 gelten
• Somit gilt
  \(f'\left( x \right) = - \dfrac{{p'\left( x \right) > 0}}{{{{\left( {p\left( x \right)} \right)}^2}}} \to f'\left( x \right) < 0\)
  (Vor dem Bruch steht ein Minus, im Zähler steht ein Plus, daher ist der Quotient negativ.)
• \(f'\left( x \right) < 0 \to \operatorname{f} {\text{ fällt streng monoton wzbw}}\)

8. Teilaufgabe:

Lage und Art des Extrempunkts von G_f

(Hier nicht gefragt: Die Funktion f(x) hat an den Stellen x=-3 und x=-1 je eine Polstelle.)
 

• Aus der Angabe wissen wir, dass der Graph von f links von x=-2 streng monoton steigend ist
• Aus der Angabe wissen wir, dass der Graph von f rechts von x=-2 streng monoton fallend ist

Daher hat f(x) an der Stelle x=-2 ein lokales Maximum, welches sich wie folgt berechnet:
\(\eqalign{ & f(x) = \dfrac{1}{{p\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( {x + 2} \right)}^2} - 0,5}} \cr & f\left( {x = - 2} \right) = \dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} - 0,5}} = \dfrac{1}{{ - 0,5}} = - 2 \cr} \)

Das lokale Maximum, also der lokale Hochpunkt, hat die Koordinaten:
\(H = \left( { - 2\left| { - 2} \right.} \right)\)

9. Teilaufgabe:

(-5) und f (-1,5)

\(\eqalign{ & f(x) = \dfrac{1}{{p\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( {x + 2} \right)}^2} - 0,5}} \cr & f\left( {x = - 5} \right) = \dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( { - 5 + 2} \right)}^2} - 0,5}} = \cr & = \dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( { - 3} \right)}^2} - 0,5}} = \dfrac{1}{{0,5 \cdot 9 - 0,5}} = \dfrac{1}{{4,5 - 0,5}} = \frac{1}{4} = 0,25 \cr & {P_1} = ( - 5\left| {0,25)} \right. \cr & \cr & f\left( {x = - 1,5} \right) = \dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( { - 1,5 + 2} \right)}^2} - 0,5}} = \cr & = \dfrac{1}{{{{0,5}^3} - 0,5}} = - \dfrac{8}{3} \approx - 2,66 \cr & {P_2} = \left( { - 1,5\left| { - 2,66} \right.} \right) \cr} \)

10. Teilaufgabe:

Skizzieren Sie G_f

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