Aufgabe 6022
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Schar der in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen
\({f_n}:x \mapsto {x^4} - 2 \cdot {x^n}{\text{ mit }}n \in {\Bbb N}\)
sowie die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion
\({f_0}:x \mapsto {x^4} - 2\)
Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen f0 , f1 , f2 bzw. f4 .
- Abbildung 1: f0
- Abbildung 2: f1
- Abbidlung 3: f2
- Abbildung 4: f3
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen.
Betrachtet werden nun die Funktionen
\({f_n}{\text{ mit }}n > 4\)
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Geben Sie in Abhängigkeit von n das Verhalten dieser Funktionen für \(x \to + \infty \) und für \(x \to - \infty \) an.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Funktionen den Graphen zuordnen
Wir schreiben die 5 Terme für n=0 bis n=4 wie folgt an:
\(\eqalign{ & {f_n}(x) = {x^4} - 2 \cdot {x^n} \cr & \cr & {\text{1}}{\text{.Term: }}{f_{n = 0}}\left( x \right) = {x^4} - 2 \cr & {\text{2}}{\text{.Term: }}{f_{n = 1}}\left( x \right) = {x^4} - 2 \cdot x \cr & {\text{3}}{\text{.Term: }}{f_{n = 2}}(x) = {x^4} - 2 \cdot {x^2} \cr & {\text{4}}{\text{.Term: }}{f_{n = 3}}(x) = {x^4} - 2 \cdot {x^3} \cr & {\text{5}}{\text{.Term: }}{f_{n = 4}}(x) = {x^4} - 2 \cdot {x^4} = - {x^4} \cr} \)
1. Term:
\(\eqalign{ & {x^4} - 2 = 0 \cr & {x_{1,2}} = \root 4 \of 2 ;\,\,\,\,\,{x_{3,4}} = - \root 4 \of 2 \cr} \)
- Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen: Auf Grund der Lage der beiden Nullstellen: 1. Term → Abbildung 4
- Symmetrie: Da nur gerade Potenzen vorkommen, verläuft der Graph symmetrisch zur positiven y. Achse. Der Graph ist auf Grund des Subtrahenden um 2 Einheiten in Richtung der negativen y-Achse verschoben
Einschub, zur Erinnerung:
Bei der Linearfaktorzerlegung wird die Summendarstellung eines Polynoms n-ten Grades faktorisiert, also in eine Produktdarstellung umgerechnet. Der Vorteil der Darstellung von Polynomen mit Hilfe von Linearfaktoren besteht darin, dass man die Nullstellen der zugrunde liegenden Funktionen bzw. die Lösungen der zugrunde liegenden Gleichungen direkt ablesen kann.
2. Term:
\(\eqalign{ & {x^4} - 2 \cdot x = 0 \to x \cdot \left( {{x^3} - 2} \right) = 0 \cr & {x_1} = 0;\,\,\,\,\,{x_{2,3,4}} = \root 3 \of 2 \cr} \)
- Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen: Auf Grund der Lage der beiden Nullstellen: 2. Term → Abbildung 3
- Symmetrie: Auf Grund des linearen Terms weist der Graph keine Symmetrie auf
3. Term:
\(\eqalign{ & {x^4} - 2 \cdot {x^2} = 0 \to {x^2} \cdot \left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \cr & {x_{1,2}} = 0;\,\,\,\,\,{x_3} = \sqrt 2 ;\,\,\,\,\,{x_4} = - \sqrt 2 \cr} \)
- Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen: Auf Grund der Lage der beiden Nullstellen: 3. Term → Abbildung 1
- Symmetrie: Da nur gerade Potenzen vorkommen, verläuft der Graph symmetrisch zur positiven y. Achse
4. Term:
\(\eqalign{ & {x^4} - 2 \cdot {x^3} = 0 \to {x^3} \cdot \left( {x - 2} \right) = 0 \cr & {x_{1,2,3}} = 0;\,\,\,\,\,{x_4} = 2 \cr} \)
- Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen: Auf Grund der Lage der beiden Nullstellen: 4. Term → keine Abbildung
- Keine Symmetrie
5. Term:
\(\eqalign{ & - {x^4} = 0 \cr & {x_{1,2,3,4}} = 0 \cr} \)
- Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen: Auf Grund der Lage der beiden Nullstellen und der negativen Funktionswerte: 5. Term → Abbildung 2
- Symmetrie: -x4 verläuft symmetrisch zur negativen y. Achse
2. Teilaufgabe:
In Abhängigkeit von n das Verhalten dieser Funktionen für \(x \to + \infty \) und für \(x \to - \infty \) angeben
\({f_n}(x) = {x^4} - 2 \cdot {x^n}\)
Der Minuend, also x4 wird für n>4 gegenüber dem Subtrahend 2xn zunehmend unbedeutend, sodass das Verhalten der Funktion nur mehr der Term -2xn betrachtet werden muss:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f_n}\left( x \right) \approx \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - 2 \cdot {x^n} = - 2 \cdot {\infty ^n} = - 2 \cdot \infty = - \infty \cr
& \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {f_n}\left( x \right) \approx \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - 2 \cdot {x^n} = - 2 \cdot {\left( { - \infty } \right)^n} \cr
& \,\,\,\,\,{\text{n = gerade:}} - 2 \cdot {\left( { - \infty } \right)^n} = - 2 \cdot \infty = - \infty \cr
& \,\,\,\,\,{\text{n = ungerade:}} - 2 \cdot {\left( { - \infty } \right)^n} = - 2 \cdot \left( { - \infty } \right) = 2 \cdot \infty = + \infty \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
- 1. Term → Abbildung 4
- 2. Term → Abbildung 3
- 3. Term → Abbildung 1
- 5. Term → Abbildung 2
2. Teilaufgabe:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f_n}\left( x \right) = - \infty \cr
& \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {f_n}\left( x \right) \cr
& \,\,\,\,\,{\text{n = gerade:}} = - \infty \cr
& \,\,\,\,\,{\text{n = ungerade:}} = + \infty \cr} \)