Aufgabe 6020
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion
\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)
beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.
Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion
\(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)
stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.
3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\) verwenden.
4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wann ist die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen?
Wir setzen den gegebenen Funktionswert in die Gleichung ein und machen x (in Minuten) explizit:
\(\eqalign{ & h\left( x \right) = \frac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}} = 0,01 \cr & \frac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}} = 0,01\,\,\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( {{e^{x + 1}} - 1} \right)} \right. \cr & 3 = 0,01 \cdot \left( {{e^{x + 1}} - 1\,} \right)\,\,\,\,\left| {:0,01} \right. \cr & 300 = {e^{x + 1}} - 1\,\,\,\,\,\left| { + 1} \right. \cr & 301 = {e^{x + 1}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \left( {301} \right) = x + 1 \cr & x = \ln \left( {301} \right) - 1\, \cr & x \approx 4,707 \cr} \)
→ Es dauert ca. 4,7 Minuten, ehe die Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.
Achtung: Hätte man eine Zeile früher mit dem ln erweitert, kann man versucht sein, wie folgt falsch weiter zu rechnen:
\( \eqalign{ & 300 = {e^{x + 1}} - 1\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln 300 = x + 1 - \ln 1\,\,\,\,\, \leftarrow {\text{falsch!}} \cr} \)
2. Teilaufgabe;
Wir stellen die beiden Funktionen einander gegenüber:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}} \cr & k(x) = 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2 = 3 \cdot f\left( x \right) - 0,2 \cr} \)
Über Parameter kann die Form von Funktionen verändert werden.
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x + c} \right) + d\)
- Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude.
- Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
- Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
- Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Funktion in Richtung der y-Achse.
Der Graph k(x) geht aus dem Graph f(x) durch
- eine Verdreifachung der Amplitude bzw durch eine Dehnung in Richtung der y-Achse um den Faktor 3 sowie durch
- eine Parallelverschiebung in Richtung der negativen y-Achse um 0,2 Einheiten
hervor.
3. Teilaufgabe:
\(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\) näherungsweise durch \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\) berechnen
Wir gehen wie folgt vor:
\(\eqalign{ & h(x) = \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}} \cr & k(x) = 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2 \cr & \int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx \cr & \cr & \int\limits_0^1 {\left[ {3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2} \right]} \,\,\,dx = \cr & \cr & NR:\int {\dfrac{1}{x}} \,\,dx = \ln x \cr & NR:\int {\dfrac{1}{{x + 1}}} \,\,dx = \ln \left( {x + 1} \right) \cr & NR:\int {0,2\,\,dx = 0,2 \cdot x} \cr & \cr & = \left[ {3 \cdot \left( {\ln \left( {x + 1} \right) - \ln \left( {x + 3} \right)} \right) - 0,2 \cdot x} \right]_0^1 = \cr & = \left[ {3 \cdot \ln 2 - 3 \cdot \ln 4 - 0,2} \right] - \left[ {3 \cdot 0 - 3 \cdot \ln 3 - 0} \right] = \cr & 3 \cdot \ln 2 - 3 \cdot \ln 4 - 0,2 + 3 \cdot \ln 3 = 1,0164 \cr} \)
Der Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\) beträgt 1,0164.
4. Teilaufgabe:
Bedeutung von \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx=1,0164\)
- h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute
- x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.
Wir berechnen die Einheit wie bei jeder Fläche (Länge mal Breite):
\(\dfrac{{{\text{Gramm}}}}{{{\text{Min}}}} \cdot {\text{Min = Gramm}}\)
→ In der 1. Minute werden ca. 1,0164 Gramm vom Schadstoff abgebaut.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Es dauert ca. 4,7 Minuten, ehe die Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.
2. Teilaufgabe:
Der Graph k(x) geht aus dem Graph f(x) durch
- eine Verdreifachung der Amplitude bzw durch eine Dehnung in Richtung der y-Achse um den Faktor 3 sowie durch
- eine Parallelverschiebung in Richtung der negativen y-Achse um 0,2 Einheiten
hervor.
3. Teilaufgabe:
Der Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\) beträgt 1,0164.
4. Teilaufgabe:
In der 1. Minute werden ca. 1,0164 Gramm vom Schadstoff abgebaut.