Aufgabe 6032
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Mithilfe der Funktion f lässt sich modellhaft das Alter einer Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke x in Metern beschreiben, sofern die Fichte zwischen 10 und 120 Jahre alt ist. Als Stammdicke wird der in 1,30m Höhe über dem Erdboden gemessene Durchmesser des Fichtenstamms bezeichnet. Der Funktionsterm
\(f\left( x \right) = 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right)\)
gibt im Modell das Alter der Fichte in Jahren an.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells das Alter einer Fichte, deren Stammdicke 40 cm beträgt.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:0
Ermitteln Sie rechnerisch die Werte der Stammdicke, für die das Modell aufgrund des angegebenen Altersbereichs gültig ist.
(zur Kontrolle: von etwa 8 cm bis etwa 95 cm)
3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Interpretieren Sie die Bedeutung der y-Koordinate des Wendepunkts W von Gf in Bezug auf die Wachstumsgeschwindigkeit der Stammdicke in Abhängigkeit vom Baumalter.
Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen Gh einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion
\(h:x \mapsto a \cdot \dfrac{{{e^{bx}}}}{{{e^{bx}} + c}}{\text{ mit }}a,b,c \in {{\Bbb R}^ + }\)
4. Teilaufgabe d.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Begründen Sie mithilfe des Grenzwerts \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 40\) dass a=40 ist.
5. Teilaufgabe d.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie mithilfe des Achsenschnittpunkts S(0 | 4) von Gh , dass c=9 ist.
6. Teilaufgabe d.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie mithilfe des Wendepunkts \({W_h}\left( {40 \cdot \ln 9\left| {h\left( {40 \cdot \ln 9} \right)} \right.} \right)\) den Wert von b
Mithilfe der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion
\(h:x \mapsto 40 \cdot \dfrac{{{e^{0,025 \cdot x}}}}{{{e^{0,025 \cdot x}} + 9}}\)
kann im Bereich \(\left( {10 \leqslant x \leqslant 120} \right)\) modellhaft die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von ihrem Alter beschrieben werden. Dabei ist x das Alter der Fichte in Jahren und h(x) die Höhe der Fichte in Metern.
7. Teilaufgabe e.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie auf der Grundlage der beiden betrachteten Modelle die Höhe einer Fichte mit einer Stammdicke von 25 cm
8. Teilaufgabe e.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Tragen Sie den zugehörigen Punkt in die Abbildung ein.
9. Teilaufgabe f) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zeichnen Sie in obige Abbildung den Verlauf des Graphen der Funktion, die auf der Grundlage der beiden betrachteten Modelle die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke beschreibt.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Alter einer Fichte, deren Stammdicke 40 cm beträgt
Wir setzen die gegebene Stammdicke in m in die gegebene Formel wie folgt ein:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right)\\ 40cm \buildrel \wedge \over = 0,4m\\ f\left( {x = 0,4} \right) = 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20 \cdot 0,4}}{{1 - 0,4}}} \right) = 51,8053 \end{array}\)
Die Berechnung erfolge mittels Technologieeinsatz:
Wolfram Alpha: 20 ln ((20*0.4)/(1-0.4))
→ Eine Fichte mit einer Stammdicke von 40cm ist gemäß dem Modell ca. 52 Jahre alt.
2. Teilaufgabe:
Werte der Stammdicke, für die das Modell aufgrund des angegebenen Altersbereichs gültig ist
10 Jahre:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = 20\ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right) = 10\\ x = \dfrac{{\sqrt e }}{{20 + \sqrt 3 }} \approx 0,076158\\ x = 7,6cm \end{array}\)
Wolfram Alpha: 20 ln ((20x)/(1-x))=10
120 Jahre:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = 20\ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right) = 120\\ x = \dfrac{{{e^6}}}{{20 + {e^6}}} \approx 0,95277\\ x \approx 95cm \end{array}\)
Wolfram Alpha: 20 ln ((20x)/(1-x))=120
→ Eine 10-jährige Fichte hat eine Stammdicke von ca. 7,6 cm während eine 120-jährige Fichte eine Stammdicke von ca. 95 cm hat.
3. Teilaufgabe:
Bedeutung der y-Koordinate des Wendepunkts W von Gf in Bezug auf die Wachstumsgeschwindigkeit der Stammdicke in Abhängigkeit vom Baumalter
Gemäß der NEW-Regel liegt am Wendepunkt einer Funktion zugleich der Extremwert der 1. Ableitung ebendieser Funktion. Die 1. Ableitung ist ein Maß für die Änderung der Wachstumsgeschwindigkeit.
Mit Hilfe von GeoGebra veranschaulichen wir die Zusammenhänge zwischen der Funktion und ihrer 1. Ableitung. Wir sehen anhand der 1. Ableitung, dass am Wendepunkt die Änderung der Wachstumsgeschwindigkeit ihr Minimum hat.
→ Die y-Koordinate des Wendepunkts W von Gf gibt jenes Alter der Fichte an (60 Jahre) bei der das jährliche Wachstum der Fichte am kleinsten ist.
4. Teilaufgabe:
Begründen Sie mithilfe des Grenzwerts \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 40\) dass a=40 ist.
Wir erweitern die Gleichung, um sie auf eine besser interpretierbare Form zu bringen. Dann prüfen wir, wie sich die Gleichung für x gegen unendlich verhält:
\(\begin{array}{l} h(x) = a \cdot \dfrac{{{e^{bx}}}}{{{e^{bx}} + c}} \cdot \dfrac{{\dfrac{1}{{{e^{bx}}}}}}{{\dfrac{1}{{{e^{bx}}}}}} = a \cdot \dfrac{1}{{1 + \dfrac{c}{{{e^{bx}}}}}}\\ x \to \infty :\,\,\,\,\,a \cdot \dfrac{1}{{1 + \dfrac{c}{{{e^\infty }}}}} = a \cdot \dfrac{1}{{1 + \dfrac{c}{\infty }}} = a \cdot \dfrac{1}{{1 + 0}} = a\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 40 = a\,\,\,\,\,wzbw \end{array}\)
5. Teilaufgabe:
Begründen Sie mithilfe des Achsenschnittpunkts S(0 | 4) von Gh , dass c=9 ist.
Wir setzen in die gegebene Gleichung h(x) den Wert für den Achsenschnittpunkt x=0 ein:
\(\eqalign{ & h(x) = a \cdot \dfrac{{{e^{bx}}}}{{{e^{bx}} + c}} \cr & S = \left( {0\left| 4 \right.} \right) \cr & \cr & h\left( {x = 0} \right) = 40 \cdot \dfrac{{{e^0}}}{{{e^0} + c}} = 4 \cr & 40 \cdot \frac{1}{{1 + c}} = 4\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( {1 + c} \right)} \right. \cr & 40 = 4 \cdot \left( {1 + c} \right) \cr & 40 = 4 + 4c\,\,\,\,\,\left| { - 4} \right. \cr & 36 = 4c\,\,\,\,\,\left| {:4} \right. \cr & c = \dfrac{{36}}{4} = 9\,\,\,\,\,wzbw \cr} \)
6. Teilaufgabe:
Mit Hilfe vom Wendepunkt den Parameter b bestimmen
Was wir bisher wissen:
\(\eqalign{ & h(x) = a \cdot \dfrac{{{e^{bx}}}}{{{e^{bx}} + c}} \cr & h\left( x \right) = 40 \cdot \dfrac{{{e^{bx}}}}{{{e^{bx}} + 9}} \cr & \cr & {W_h}\left( {40 \cdot \ln 9\left| {h\left( {40 \cdot \ln 9} \right)} \right.} \right) \cr} \)
Den Wendepunkt einer Funktion erhält man, indem man die 2. Ableitung der Funktion Null setzt.
Gemäß \(\dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}} \cdot h\left( x \right) = 0\) und der Eingabe: d^2(40(e^(bx))/(e^(bx)+9))/dx^2=0 liefert Wolfram Alpha:
\(x = \dfrac{{\ln 9}}{b}\)
- Aus der Angabe wissen wir, dass der x-Wert vom Wendepunkt \(40 \cdot \ln 9\) ist.
- Durch das zweifache Ableiten der Funktion haben wir ebenfalls den x-Wert vom Wendepunkt mit \(x = \dfrac{{\ln 9}}{b}\) erhalten
Wir setzen die beiden Werte gleich, und erhalten b wie folgt:
\(\eqalign{ & 40 \cdot \ln 9 = \dfrac{{\ln 9}}{b}\,\,\,\,\,\left| {:\ln 9} \right. \cr & 40 = \frac{1}{b} \to b = \dfrac{1}{{40}} \cr} \)
→ Der Parameter b lautet 1/40.
7. Teilaufgabe:
Wir fassen zusammen:
- Die Funktion f(x) beschreibt den Zusammenhang zwischen Stammdicke und Alter einer Fichte.
- Die Funktion h(x) beschreibt den Zusammenhang zwischen Alter der Fichte und Höhe der Fichte.
Wir sollen die Höhe einer Fichte mit einer Stammdicke von 25 cm berechnen. Dazu wählen wir ein zweistufiges Vorgehen:
Mit Hilfe der Funktion f(x) berechnen wir das Alter Fichte mit 25 cm Stammdicke wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right) \cr & f(x = 0,25) = 20 \cdot \ln \dfrac{{20 \cdot 0,25}}{{1 - 0,25}} \approx 37,94 \cr} \)
Wolfram Alpha: 20 ln ((5)/(1-0.25))
Eine Fichte mit 25 cm Stammdicke ist ca. 37,94 Jahre alt.
Mit Hilfe der Funktion h(x) berechnen wir die Höhe einer 37.94 Jahre alten Fichte wie folgt:
\(\eqalign{ & h(x) = 40 \cdot \dfrac{{{e^{0,025 \cdot x}}}}{{{e^{0,025 \cdot x}} + 9}} \cr & \cr & h(f(0,25)) \cr & h\left( {x = 37,94} \right) = \dfrac{{40 \cdot {e^{0,025 \cdot 37,94}}}}{{{e^{0,025 \cdot 37,94}} + 9}} \approx 8,9 \cr} \)
Wolfram Alpha: (40e^(0.025*37.94))/(e^(0.025*37.94)+9)
→ Eine Fichte mit einer Stammdicke von 25cm ist ca. 8,9m hoch.
8. Teilaufgabe:
Wir kennen die Stammdicke mit 25 cm, das Alter mit 37,94 Jahren und die Baumhöhe mit 8,9 m. Wir tragen den zugehörigen Punkt in das Koordinatensystem wie folgt ein:
9. Teilaufgabe:
Wir fassen nochmals zusammen:
- Die Funktion f(x) beschreibt den Zusammenhang zwischen Stammdicke und Alter einer Fichte.
- Die Funktion h(x) beschreibt den Zusammenhang zwischen Alter der Fichte und Höhe der Fichte.
Wir benötigen dafür den Graph gemäß
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right) \cr
& h(x) = 40 \cdot \dfrac{{{e^{0,025 \cdot x}}}}{{{e^{0,025 \cdot x}} + 9}} \cr
& \cr
& h(f(x)) \cr} \)
Wir erstellen den Graph mit Hilfe von GeoGebra wie folgt:
Der Graph sieht wie folgt aus:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Eine Fichte mit einer Stammdicke von 40cm ist gemäß dem Modell ca. 52 Jahre alt.
2. Teilaufgabe:
Das Modell ist für Stammdicken von 7,6 cm biss 95 cm gültig.
3. Teilaufgabe:
Die y-Koordinate des Wendepunkts W von Gf gibt jenes Alter der Fichte an (60 Jahre) bei der das jährliche Wachstum der Fichte am kleinsten ist.
4. Teilaufgabe:
Durch Erweitern und Umformen der Gleichung können wir zeigen, dass a=40 gilt.
5. Teilaufgabe:
Indem wir die x-Koordinate von Achsenschnittpunkt, x=0, in die gegebene Gleichung einsetzen, können wir zeigen, dass c=9 gilt.
6. Teilaufgabe:
Der Parameter b lautet 1/40.
7. Teilaufgabe:
Eine Fichte mit einer Stammdicke von 25cm ist ca. 8,9m hoch.
8. Teilaufgabe:
Siehe 9. Teilaufgabe:
9. Teilaufgabe: