Aufgabe 6035
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Ein Fahrzeug bremst mit konstanter Verzögerung bis zum Stillstand ab. Der gesamte Bremsweg in Metern wird dabei mit xB bezeichnet. Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs beträgt zu Beginn des Bremsvorgangs 20 m/s und nimmt in den ersten zehn Metern um 2 m/s ab.
Für \(0 \leqslant x \leqslant {x_B}\) gibt der Term \(v\left( x \right) = \sqrt {{{20}^2} - 2 \cdot a \cdot x} \) die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in m/s während des Bremsvorgangs in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg x in Metern an. Dabei ist a der Betrag der Verzögerung des Fahrzeugs in m/s².
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Werte von a
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Werte von xB
Betrachtet wird für \(\left( {0 \leqslant x \leqslant {x_B} - 10} \right)\) der Term \(h\left( x \right) = v\left( x \right) - v\left( {x + 10} \right)\).
3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Erläutern Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.
4. Teilaufgabe b.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Begründen Sie, dass \(2 \cdot \sqrt {19} \) der maximale Wert von h(x) ist.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
a=?
Wir geben die Gleichung für v(x) ein und wenden den GeoGebra Befehl "Löse Gleichung" an:
Zeitpunkt t=0:
\(\begin{array}{l} {x_A} = 0\\ v\left( {{x_A}} \right) = \sqrt {{{20}^2} - 2 \cdot a \cdot 0} = 20 \end{array}\)
Zeitpunkt t=1
\(\begin{gathered} x = 10{\text{m}} \hfill \\ v\left( {{x_{10}}} \right) = 20 - 2 = 18 \hfill \\ v\left( {{x_{10}}} \right) = \sqrt {{{20}^2} - 2 \cdot a \cdot 10} = 18 \hfill \\ \hfill \\ \sqrt {{{20}^2} - 20 \cdot a} = 18\,\,\,\,\,\left| {^2} \right. \hfill \\ {20^2} - 20a = {18^2} \hfill \\ {20^2} - {18^2} = 20 \cdot a \hfill \\ a = \dfrac{{{{20}^2} - {{18}^2}}}{{20}} = 3,8 \hfill \\ \end{gathered} \)
2. Teilaufgabe:
xB=?
Wir kennen nun den Parameter a=3,8 und können uns den bis zum Stillstand zurückgelegten Weg ausrechnen, indem wir jenes x bestimmen, für welches v=0 gilt:
Wir wenden dazu den GeoGebra Befehl "Löse Gleichung numerisch" an:
\(\begin{gathered} v\left( x \right) = \sqrt {{{20}^2} - 2 \cdot 3,8 \cdot x} = 0 \hfill \\ \sqrt {{{20}^2} - 2 \cdot 3,8 \cdot x} = 0\,\,\,\,\,\left| {^2} \right. \hfill \\ {20^2} - 7,6 \cdot x = 0\,\,\,\,\,\left| { + 7,6x} \right. \hfill \\ {20^2} = 7,6 \cdot x \hfill \\ x = \dfrac{{{{20}^2}}}{{7,6}} = 52,632 = \dfrac{{1000}}{{19}} \hfill \\ \end{gathered} \)
3. Teilaufgabe:
Bedeutung des Terms
- v(x) gibt die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs in Abhängigkeit vom zurückgelegenen Weg an.
- v(x+10) gibt die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs nach zusätzlichen 10 m zurückgelegten Weg an, wobei v(x+10)<v(x) gilt.
→ h(x) gibt daher die Abnahme der Geschwindigkeit innerhalb von 10m an jeder beliebigen Wegstelle x an.
4. Teilaufgabe:
\(2 \cdot \sqrt {19} \) ist der maximale Wert von h(x)
Mit Hilfe der Algebra und der Grafikansicht konstruieren wir den Graph von u(x) und von h(x). Wir erkennen, dass h(x) sein Maximum an der rechten Intervallgrenze hat und berechnen den Wert
\(h\left( {\dfrac{{1000}}{{19}} - 10} \right) = 2 \cdot \sqrt {19} {\text{ wzbw}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
a=3,8
2. Teilaufgabe:
xB=1000/19
3. Teilaufgabe:
h(x) gibt die Abnahme der Geschwindigkeit innerhalb von 10m an jeder beliebigen Wegstelle x an.
4. Teilaufgabe:
\(h\left( {\dfrac{{1000}}{{19}} - 10} \right) = 2 \cdot \sqrt {19} {\text{ wzbw}}\)