Tangente
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in einem Punkt berührt.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Gleichung des Kreises
Die Kreislinie (der Kreis) ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben.
\(k\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt
Bei einem Kreis in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung.
Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2}\)
Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt außerhalb vom Ursprung liegt
Bei der allgemeinen Kreisgleichung ist der Mittelpunkt M des Kreises gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y-Richtung verschoben
Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\)
Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)
Lagebeziehung Punkt und Kreis
Ein Punkt kann bezüglich einer Kreises innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis liegen
Punkt liegt innerhalb vom Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 < {r^2}\)
Punkt liegt auf dem Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 = {r^2}\)
Punkt liegt außerhalb vom Kreis
\({P_x}^2 + {P_y}^2 > {r^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Kreis
Untersucht man ob ein Kreis und eine Gerade gemeinsame Punkte besitzen, so führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die dann 2 Lösungen (Sekante), 1 Lösung (Tangente) oder keine reelle Lösung (Passante) hat.
- Sekante bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in zwei verschiedenen Punkten S1, S2 schneidet.
- Tangente bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt T berührt. Der Berührradius steht normal auf der Tangente und geht durch T und M.
- Passante bezeichnet eine Gerade, welche keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.
\(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\) | Mittelpunkt des Kreises |
\(T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right)\) | Berührpunkt der Tangente |
t | Tangente im Berührpunkt |
Berührbedingung Gerade an Kreis
Die Berührbedingung vom Kreis ergibt sich aus den Koordinaten vom Kreismittelpunkt sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\({\left( {{M_x} \cdot k + d - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spezialfall: M = Ursprung:
\({{\text{d}}^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spaltform der Tangentengleichung des Kreises
Indem man die Koordinaten vom Kreismittelpunkt und vom Berührpunkt in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung des Kreises aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\(t:\left( {{T_x} - {M_x}} \right) \cdot \left( {x - {M_x}} \right) + \left( {{T_y} - {M_y}} \right) \cdot \left( {y - {M_y}} \right) = {r^2}\)
Spezialfall: M=Ursprung:
\({T_x} \cdot x + {T_y} \cdot y = {r^2}\)
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Kreis und Gerade
Liegen ein Kreis und eine Gerade in einer Ebene, so gibt es, abhängig von der Lage der Geraden zum Kreis, unterschiedliche Bezeichnungen für die Gerade. Konkret unterscheidet man Sehne, Sekante, Tangente und Passante.
Kreissehne
Eine Sehne verbindet zwei beliebige Punkte, die auf der Kreislinie liegen. Sie ist somit der im Kreisinneren liegende Teil einer Sekante. Die längste Sehne muss durch den Kreismittelpunkt laufen und entspricht somit dem Kreisdurchmesser.
\(\eqalign{ & g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\} \cr & S = \overline {{P_1}{P_2}} \cr & \left| {{S_{\max }}} \right| = \left| {\overline {{P_1}M{P_2}} } \right| = d \cr} \)
Sekante
Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in 2 Punkten schneidet.
\(g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\}\)
Tangente
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in 1 Punkt berührt.
\(g \cap k = \left\{ {{P_1}} \right\}\)
Passante
Eine Passante ist eine Gerade, die einen Kreis weder schneidet noch berührt.
\(g \cap k = \left\{ {} \right\}\)
Aufgaben
Aufgabe 6034
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen Gf der Funktion f
\(f:x \mapsto \sqrt {16 - 2x} = \sqrt {2 \cdot \left( {8 - x} \right)} \)
Gegeben ist weiter die Gerade g mit der Gleichung \(y = - \dfrac{1}{2}x + 7,5\)
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeichnen Sie die Gerade g in die Abbildung ein.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punkts \(T\left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right)\) von Gf , in dem die Tangente an Gf parallel zur Geraden g ist.
(Teilergebnis: xT=6 )
3. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie den Abstand d des Punkts T von der Geraden g.
Betrachtet wird zusätzlich die Differenzfunktion
\(u:x \mapsto g\left( x \right) - f\left( x \right){\text{ mit }}{D_u} = {D_f}\)
4. Teilaufgabe c) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Zeigen Sie, dass u an der Stelle xT ein Minimum u(xT) besitzt.
5. Teilaufgabe d.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie ohne Rechnung, dass das Minimum u(xT) der Differenzfunktion u größer ist als der Abstand des Punkts T von der Geraden g.
6. Teilaufgabe d.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeichnen Sie dazu auch geeignete Strecken in oben stehende Abbildung ein.
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