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Logarithmus
Logarithmieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x Exponent einer Potenz ist.
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Formeln
Logarithmieren
Logarithmieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x Exponent einer Potenz ist.
\({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}\left( b \right){ = ^a}\log b\)
Beispiel: Berechne x
\(\eqalign{ & {5^x} = 125 \cr & x = {}^5\log 125 \cr}\)
Bezeichnungen beim Logarithmieren
Ein Logarithmus wird durch seine Basis und seinen Numerus bestimmt. Für die Basis sind 10, die eulersche Zahl e und 2 üblich.
| \({x = {}^a\log b}\) | Logarithmus von b zur Basis a |
| a | Basis |
| b | Numerus |
| x | Logarithmuswert |
Es werden 2 äquivalente Schreibweisen für Logarithmen verwendet
\({}^a\log \,\,b = {\log _a}\,\,b\)
Unterscheidung von Logarithmen nach der Basis
Es ist möglich die Basis vom Logarithmus frei zu wählen, üblich ist es aber für die Basis entweder 10, die Eulersche Zahl e oder 2 zu wählen
| \({}^a{\mathop{\rm logb}\nolimits}\) | Der Logarithmus von b zur beliebigen Basis a |
| \({}^{10}\log b = \lg b\) | Der dekadische Logarithmus hat die Zahl a=10 als Basis |
| \({}^e\log b = \ln b\) | Der natürliche Logarithmus hat die Zahl a=e=2,71828 als Basis |
| \({}^2\log b = {\mathop{\rm lb}\nolimits} \,b\) | Der binäre Logarithmus hat die Zahl a=2 als Basis |
Logarithmus von b zur Basis a
Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
\(\eqalign{ & {}^a\log b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\};\,\,b \in {{\Bbb R}^ + }\, \cr}\)
Den Zahlenwert von einem Logarithmus mit beliebiger Basis kann man berechnen, indem man den Logarithmus vom Numerus b durch den Logarithmus der Basis a dividiert
\(lo{b_b}\left( a \right) \buildrel \wedge \over = {}^a{\mathop{\rm logb}\nolimits} \) ist die eindeutige Lösung der Gleichung \({b^x} = a\) . Ihren Zahlenwert kann man berechnen indem man den Logarithmus vom Numerus b durch den Logarithmus der Basis a dividiert
\({}^a\log b = \dfrac{{\ln b}}{{\ln a}} = \dfrac{{\log b}}{{\log a}}\)
Beispiel:
\({}^2\log16 = x;\)
... folgende Umrechnung vereinfacht die Berechnung, sollte man keinen modernen Taschenrechner zur Hand haben:
\(x = \dfrac{{\ln 16}}{{\ln 2}} = \dfrac{{\log 16}}{{\log 2}} = 4\)
Natürlicher Logarithmus
Der natürliche Logarithmus hat die EULER‘sche Zahl e=2,71828 als Basis.
\({\text{Basis = e: }}{}^e\log b = \ln b\)
Dekadischer Logarithmus
Der dekadische Logarithmus hat die Zahl 10 als Basis.
\({\text{Basis = 10: }}{}^{10}\log b = \lg b\)
Es ist zweckmäßig für die Basis b=10 zu wählen, denn dann kann man Logarithmen mit beliebiger Basis leicht berechnen.
\({}^b\log x = {}^a\log x \cdot {}^b\log a\,\, \Leftrightarrow \,\,{}^a\log x = \dfrac{{{}^b\log x}}{{{}^b\log a}}\)
Zusammenhang dekadischer Logarithmus und natürlicher Logarithmus
Bei der Umrechnung vom dekadischen auf den natürlichen Logarithmus erfolgt ein Wechsel der Basis von 10 auf e=2,718
\({}^a\log x = \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}}\)
Binärer Logarithmus
Der binäre Logarithmus hat die Zahl 2 als Basis.
\({\text{Basis = 2: }}{}^2\log b = \operatorname{lb} b\)
Logarithmische Skala
Logarithmische Skalen werden verwendet, wenn der Wertebereich der darzustellenden Größe viele Zehnerpotenzen umfasst. Auf einer logarithmischen Skala werden Werte, die sich in gleichen Zeiträumen verzehnfachen als Gerade dargestellt. Kleine Werte sind genauer ablesbar als große Werte.
Bild
Dabei ergibt 10 hoch dem dekadischen Wert den entsprechenden logarithmischen Wert.
\(\begin{gathered}
{10^0} = 1 \hfill \\
{10^1} = 10 \hfill \\
{10^2} = 100 \hfill \\
... \hfill \\
{10^7} = 10.000.000 \hfill \\
\end{gathered} \)
Beispiele für logarithmische Skalen:
- Das Spektrum elektromagnetischer Wellen reicht von 100 Hz bis 1023 Hz.
- Aktienkurse, die alle10 Jahre ihren Wert verzehnfachen, haben einen linear verlaufenden Graph, wenn die Zeitachse linear und die Werteachse logarithmisch beschriftet ist.
- Potenzfunktionen werden als Gerade dargestellt, wenn sowohl die x- als auch die y-Achse logarithmisch beschriftet sind.
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Aufgaben
Aufgabe 6020
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion
\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)
beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.
Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion
\(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)
stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.
3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\) verwenden.
4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
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Aufgabe 4006
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Medikamentenabbau - Aufgabe A_251
Teil a
Der Abbau von Medikamenten im Körper kann näherungsweise durch exponentielle Modelle beschrieben werden. Die nachstehende Tabelle gibt an, welche Menge N(t) eines bestimmten Medikaments zur Zeit t im Körper vorhanden ist:
| t in h | 0 | 2 | 4 |
| N(t) in mg | 100 | 60 | 36 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erklären Sie, warum die in der Tabelle angegebenen Daten die Beschreibung des Medikamentenabbaus durch ein exponentielles Modell nahelegen. [1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N, die diesen Medikamentenabbau beschreibt. [1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie diejenige Menge des Medikaments, die zur Zeit t = 3 h im Körper vorhanden ist. [1 Punkt]
Aufgabe 6016
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Produkt einer Polynomfunktion mit einer Logarithmusfunktion
Gegeben ist die Gleichung
\(\left( {4x - 3} \right) \cdot \ln \left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\)
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie für \(x \in {\Bbb R}\) Lösungen der Gleichung
Aufgabe 4053
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Spam - Aufgabe B_418
Teil a
Als Spam werden unerwünscht zugestellte E-Mails bezeichnet. Der nachstehenden Tabelle kann man die Entwicklung der Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails in Milliarden entnehmen.
| Beginn des Jahres | Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails in Milliarden |
| 2010 | 62 |
| 2011 | 42 |
| 2012 | 30 |
Die Anzahl der Spam-Mails kann näherungsweise durch die Funktion S beschrieben werden: \(S\left( t \right) = 50 \cdot {0,6^t} + 12\)
mit:
| t | Zeit in Jahren ab 2010, d. h. für den Beginn des Jahres 2010 gilt: t = 0 |
| S(t) | Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails zur Zeit t in Milliarden |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass die Funktion S die Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails für den Beginn des Jahres 2012 richtig beschreibt.
[1 Punkt]
Die Funktion S kann auch in der Form \(S\left( t \right) = 50 \cdot {e^{k \cdot t}} + 12\) angegeben werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie k.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie das Ergebnis der Berechnung \(\dfrac{{S\left( 5 \right) - S\left( 3 \right)}}{{S\left( 3 \right)}} \approx - 0,30\) im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Aufgabe 1105
AHS - 1_105 & Lehrstoff: FA 5.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Werte einer Exponentialfunktion
Gegeben ist die Exponentialfunktion f durch die Gleichung \(f\left( x \right) = {2^x}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie diejenige rationale Zahl x, für die \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}\) gilt!
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Prüfungsvorbereitung unter simuliertem Zeitdruck
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Aufgabe 1104
AHS - 1_104 & Lehrstoff: FA 5.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialgleichung
Gegeben ist der Funktionswert \(\sqrt[3]{4}\) der Exponentialfunktion \(f\left( x \right) = {2^x}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die rationale Zahl x so, dass sie die Gleichung \({2^x} = \sqrt[3]{4}\) erfüllt!
Aufgabe 1483
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ausbreitung eines Ölteppichs
Der Flächeninhalt eines Ölteppichs beträgt momentan 1,5 km2 und wächst täglich um 5 %.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, nach wie vielen Tagen d der Ölteppich erstmals größer als 2 km2 ist!
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