Direkt zum Inhalt

Maths2Mind Navigation

      • Terme und Zahlensysteme
      • Fest- und Gleitkommadarstellung, Zehnerpotenzen, SI-Präfixe
      • Teiler bzw Vielfache
      • Brüche und Rundungsregeln
      • Kartesische-, trigonometrische bzw. exponentielle Darstellung
      • Rechenoperationen mit komplexen Zahlen
      • Fundamentalsatz der Algebra
      • Quadratische Gleichungen mit komplexer Lösung
      • Die Schönheit der Fraktale und der Selbstähnlichkeit
      • Potenzieren
      • Wurzelziehen
      • Logarithmieren
      • Determinante
      • Matrizen
      • Lineare Gleichung mit einer Variablen
      • Quadratische Gleichung mit einer Variablen
      • Lineare Gleichungssyteme mit zwei Variablen
      • Lineare Ungleichung mit einer Variablen
      • Lineare Ungleichung mit zwei Variablen
      • Systeme linearer Ungleichungen mit einer Variablen
      • Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen
      • Quadratische Ungleichungen mit einer Variablen
      • Zahlenfolgen und Zahlenreihen
      • Modellbildung, Simulation
      • Zuordnungen
      • Eigenschaften einer Funktion
      • Lineare Funktion
      • Quadratische Funktionen (Parabel)
      • Polynomfunktionen
      • Gebrochenrationale Funktionen (Hyperbel)
      • Wurzelfunktionen
      • Potenzfunktionen
      • Exponentialfunktion
      • Logarithmusfunktion
      • Periodische Funktionen
      • Änderungsmaße
      • Differenzierbarkeit
      • Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln
      • Lineare Optimierung
      • Differentialgleichungen
      • Unbestimmtes Integral
      • Bestimmtes Integral
      • Stammfunktionen und Integrationsregeln
      • Numerische Integration
      • Integro-Differentialgleichungen
      • Geometrische Grundbegriffe
      • Koordinatensysteme
      • Ähnlichkeit und Kongruenz
      • Dreiecke
      • Vierecke
      • Polygone
      • Kreis, Kreissektor und Kreisbogen
      • Würfel, Quader, Prisma
      • Zylinder und Zylinderstumpf
      • Pyramide und Pyramidenstumpf
      • Kegel und Kegelstumpf
      • Kugel und Kugelkalotte
      • Winkel- und Arkusfunktionen
      • Hyperbel- und Areafunktionen
      • Vektoren
      • Vektoralgebra
      • Vektoranalysis
      • Gleichungen von Punkt, Gerade und Ebene
      • Gleichungen von Kreis, Kugel und Kegelschnitten
      • Kombinatorik
      • Beschreibende Statistik - Lagemaße
      • Beschreibende Statistik - Streumaße
      • Schließende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung
      • Explorative Statistik - Data Mining
      • Aussagen
      • Mengen
      • Prüfungsteil A - Analysis
      • Prüfungsteil A - Stochastik
      • Prüfungsteil A - Geometrie
      • Prüfungsteil B - Analysis
      • Prüfungsteil B - Stochastik
      • Prüfungsteil B - Geometrie
      • Typ 1 - Algebra und Geometrie
      • Typ 1 - Analysis
      • Typ 1 - Funktionale Abhängigkeiten
      • Typ 1 - Wahrscheinlichkeit und Statistik
      • Typ 2 - Vernetzung der Grundkompetenzen
      • Teil A Aufgaben für alle Cluster
      • Teil B Aufgaben für spezielle Cluster
      • Zins- und Zinseszinsrechnung
      • Prozent- und Promillerechnung
      • Rentenrechnung
      • Kosten- und Preistheorie
      • Investitionsrechnung
      • Künstliche Intelligenz
      • GeoGebra
      • Berechnung von Gleichstromkreisen
      • Berechnung von Wechselstromkreisen
      • Berechnung von Drehstromsystemen
      • Elektromagnetische Felder
      • Komponenten elektrischer Energienetze
      • Fourier Analyse
      • Basiseinheiten der Physik und die Naturkonstanten
      • Mechanik
      • Thermodynamik
      • Relativitätstheorien
      • Atom- und Kernphysik
      • Strahlen- und Wellentheorie des Lichtes
      • Vom Photon zum Photo
      • Photovoltaik
      • Quantenphysik
      • Standardmodell der Kosmologie
      • Standardmodell der Elementarteilchen
      • Die 4 Wechselwirkungen und der Higgs Mechanismus
      • Recruiting & Branding
      • Zusammenarbeit mit LehrerInnen und Dozenten
      • Angeleitetes autonomes Lernen
      • Testbilder
      • Taxonomie
Maths2Mind

Social Media

User account menu

  • Anmelden
Kritik, Lob, Wünsche oder Verbesserungsvorschläge?
Nehmt Euch kurz Zeit, klickt hier und schreibt an
feedback@maths2mind.com
Deine Meinung ist uns wichtig!
/contact?edit%5Bsubject%5D%5Bwidget%5D%5B0%5D%5Bvalue%5D=Nutzerfeedback

Pfadnavigation

  1. Maths2Mind
  2. Logarithmus

Logarithmus

Logarithmieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x Exponent einer Potenz ist.

Hier findest du folgende Inhalte

1
Formeln
10
Aufgaben
    Formeln
    Wissenspfad
    Aufgaben
    PDF

    Logarithmen - Grundbegriffe

    Vorab eine Mindmap zu den Inhalten dieser Mikro-Lerneinheit

    Bild
    Logarithmen

    Logarithmieren

    Logarithmieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x der Exponent einer Potenz ist. Der Logarithmus von b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten.

    \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}\left( b \right){ = ^a}\log b\)

    Beispiel: Berechne x

    \(\eqalign{ & {5^x} = 125 \cr & x{ = ^5}\log 125 = 3 \cr} \)


    Äquivalente Schreibweisen für Logarithmen

    \(^a\log {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}\left( b \right)\)


    Zusammenhang zwischen den Exponentialfunktionen und den allgemeinen Logarithmusfunktionen

    Logarithmen sind die Umkehrfunktion zu Exponentialfunktionen. Die Exponentialfunktion \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ mit }}a \ne 1\) bildet das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\)streng monoton auf das Intervall des Wertebereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) ab. Daher existiert eine Umkehrfunktion \(g\left( x \right)\) genannt Logarithmus zur Basis a, welche das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) auf das Intervall ihres Wertebereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\) stetig abbildet.

    Bild
    Logarithmen

     


    Bezeichnungen beim Logarithmieren

    Ein Logarithmus wird durch seine Basis a und seinen Numerus b bestimmt. Für die Basis a sind 10, die eulersche Zahl e und 2 üblich.

    \({x = {}^a\log b}\) Logarithmus von b zur Basis a
    a Basis
    b Numerus
    x Logarithmuswert

     


    Praktischer Nutzen von Logarithmen

    Logarithmen sind in der Wissenschaft und Technik weit verbreitet. Sie ermöglichen

    • große Zahlenbereiche mittels logarithmischer Skalen kompakt darzustellen
    • einfache Lösungen für Gleichung mit Exponentialfunktionen, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert
    • Intensitäten und Verhältnisse, wie die Lautstärke, den pH-Wert, den Signal-zu-Rauschabstand anschaulich auszudrücken
    • exponentielles Wachstum als linearen Anstieg darzustellen.
      \(\eqalign{ & y = a \cdot {e^{k \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \left( y \right) = \ln \left( a \right) + k \cdot t \cr} \)
      wobei a der Anfangswert und k die Wachstumsrate ist
    • den Grad von Gleichungen zu senken (Potenzieren → Multiplizieren; Multiplizieren → Addieren). Diese Rechenerleichterung erlaubte vor der Erfindung des Computers eine dramatische Vereinfachung und Reduzierung von Rechenfehlern bei Berechnungen in der Astronomie und in der Navigation), erforderte aber den Einsatz von vorab erstellten, von der konkreten Aufgabenstellung unabhängigen, Logarithmustafeln bzw. eines Rechenschiebers.

    Unterscheidung von Logarithmen nach deren Basis

    Es ist möglich die Basis vom Logarithmus frei zu wählen. Es ist aber üblich für die Basis entweder 10, die Eulersche Zahl e, oder 2 zu wählen

    \({}^a\log \,\,b = {\log _a}\,\,b\) Der allgemeine Logarithmus von b zur beliebigen Basis a
    \(^{10}\log b = \lg \left( b \right) = \log \left( x \right) = {\log _{10}}\left( x \right)\) Der dekadische Logarithmus hat die Zahl a=10 als Basis
    \({}^e\log b = \ln b\) Der natürliche Logarithmus hat die Zahl a=e=2,71828 als Basis
    \({}^2\log b = {\mathop{\rm lb}\nolimits} \,b\) Der binäre Logarithmus hat die Zahl a=2 als Basis

     

    Alle Logarithmusfunktionen sind unabhängig von ihrer Basis proportional zueinander und unterscheiden sich nur durch einen konstanten Faktor. In der Praxis kommt nur der dekadische Logarithmus zur Anwendung, daher lässt man mitunter die Bezeichnung 10 für die Basis weg oder schreibt lg.

    Spricht man von Exponentialfunktionen, so hat die natürliche Exponentialfunktion zur Basis e eine überragende Bedeutung. Ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus ln(x), ist in der Schreibweise deutlich von log(x) zu unterscheiden.


    Allgemeiner Logarithmus von b zur Basis a​

    Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Diese Form vom Logarithmus ist zwar allgemein, hat aber kaum praktische Bedeutung im Vergleich um dekadischen und zum natürlichen Logarithmus.

    \(\eqalign{ & {}^a\log b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\};\,\,b \in {{\Bbb R}^ + }\, \cr}\)

    \({}^a\log \,\,b = {\log _a}\,\,b\) ist die eindeutige Lösung der Gleichung \({b^x} = a\) . Den Zahlenwert vom allgemeinen Logarithmus, für den es keine Logarithmentafeln aber auch keine separate Taste am Taschenrechner gibt, kann man berechnen, indem man den Logarithmus vom Numerus b durch den Logarithmus der Basis a dividiert.

    \(^a\log b = \dfrac{{\ln b}}{{\ln a}} = \dfrac{{\lg b}}{{\lg a}} = \dfrac{{{\text{lb}}(b)}}{{{\text{lb}}(a)}}\)

    Beispiel:

    \({}^2\log16 = x;\)

    ... folgende Umrechnung vereinfacht die Berechnung, sollte man keinen modernen Taschenrechner zur Hand haben:

    \(x = \dfrac{{\ln 16}}{{\ln 2}} = \dfrac{{\lg 16}}{{\lg 2}} = \dfrac{{lb\left( {16} \right)}}{{lb\left( 2 \right)}} = 4\)


    Natürlicher Logarithmus

    Der natürliche Logarithmus hat die eulersche Zahl e=2,71828 als Basis.
    Der Logarithmus naturalis ln(x) ist die Umkehrfunktion der eulerschen Funktion ex. Beide Funktionen kommt in den Ingenieurwissenschaften auf Grund der Eulerschen Formel zentrale Bedeutung zu.

    \({e^{j\varphi }} = \cos \left( \varphi \right) + i \cdot \sin \left( \varphi \right)\)

    Die eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem sie für einen vorgegebenen Winkel \(\varphi \) eine Verknüpfung herstellt zwischen der Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten j einerseits und mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus andererseits.

     

    \(\eqalign{ & {\text{Basis = e: }}{\log _e}\left( b \right) = \ln \left( b \right) \cr & {D_f} = {{\Bbb R}^ + } \cr & {W_f} = {\Bbb R} \cr & \ln \left( 0 \right){}...{\text {nicht definiert}} \cr & {\text{ln}}\left( 1 \right) = 0 \cr & \ln (e) = 1 \cr} \)


    Dekadischer Logarithmus

    Der dekadische Logarithmus hat die Zahl 10 als Basis und da wir mit einem 10-er System rechnen, wurde er früher bevorzugt durch umfangreiche Logarithmentafeln unterstützt.

     \({\text{Basis = 10: }}{}^{10}\log b = \lg b\)

    Es ist zweckmäßig für die Basis b=10 zu wählen, denn dann kann man Logarithmen mit beliebiger Basis leicht berechnen.

    \({}^b\log x = {}^a\log x \cdot {}^b\log a\,\, \Leftrightarrow \,\,{}^a\log x = \dfrac{{{}^b\log x}}{{{}^b\log a}}\)

    Wichtige Werte:

    \(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 1 \right) = 0 \cr & {\log _{10}}\left( {10} \right) = 1 \cr & {\log _{10}}\left( {100} \right) = 2 \cr & {\log _{10}}\left( {1.000} \right) = 3 \cr} \)


    Zusammenhang dekadischer Logarithmus und natürlicher Logarithmus

    Bei der Umrechnung vom dekadischen auf den natürlichen Logarithmus erfolgt ein Wechsel der Basis von 10 auf e=2,718

    \({}^a\log x = \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}}\)


    Binärer Logarithmus

    Der binäre Logarithmus hat die Zahl 2 als Basis.

    \({\rm{Basis = 2: }}{{\rm{\;}}^2}\log b = {\rm{lb}}\left( b \right)\)

    In der Informatik werden Daten in Form von Binärzahlen dargestellt, wobei jedes Bit entweder den Wert 0 oder 1 annehmen kann. Der binäre Logarithmus wird verwendet, um die Anzahl der Bits zu bestimmen, die benötigt werden, um einen bestimmten maximalen dezimalen Zahlenbereich binär darzustellen. Zum Beispiel benötigt die Darstellung vom dezimalen Zahlenbereich 0 .. 255, also 256 verschiedene Zustände, 8 Bit. 

    Beipiel

    \({\text{lb}}(256) = 8\)


    Logarithmentafeln

    Logarithmentafeln waren vor der Verbreitung von Computer Algebra Systemen (CAS) ein wichtiges Werkzeug der Mathematik und der Naturwissenschaften. Dabei handelt es sich um vorab berechnete Tabellen, welche die Werte von Logarithmen, vorzugsweise von dekadischen oder natürlichen Logarithmen, für verschiedene Zahlen enthalten.

    Indem man in diesen Tabellen den Wert von x sucht, kann man den entsprechenden Logarithmus lg(x) bzw. ln(x) ablesen und umgekehrt.

    Beispiel: Führe 81*243 auf eine Addition zurück und berechne unter Verwendung einer Logarithmentafel

    \(\eqalign{ & x = 81 \cdot 243\,\,\,\left| {\log } \right. \cr & \log x = \log \left( {81 \cdot 243} \right) = \log \left( {81} \right) + \log \left( {243} \right) \cr & \cr & {\text{Blick in die Logarithmustafel liefert:}} \cr & \log \left( {81} \right) \approx 4,394449 \cr & \log \left( {243} \right) \approx 5,493061 \cr & \cr & \log x \approx 4,394449 + 5,493061 \approx 9,88751 \cr & \cr & {\text{Blick in die Logarithmustafel liefert:}} \cr & {\text{9}}{\text{,88751 = log(19683) = log(x)}} \cr & \cr & {\text{x = 19683}} \cr} \)

     

    Logarithmen erleichterten komplexe Berechnungen, insbesondere bei Multiplikationen, Divisionen, Potenzierung und beim Wurzelziehen, so wie sie in der Astronomie und der Navigation häufig vorkommen. Heute erledigen CAS diese Aufgabe.


    Logarithmische Skala

    Logarithmische Skalen werden verwendet, wenn der Wertebereich der darzustellenden Größe viele Zehnerpotenzen umfasst. Auf einer logarithmischen Skala werden Werte, die sich in gleichen Zeiträumen verzehnfachen als Gerade dargestellt. Kleine Werte sind genauer ablesbar als große Werte.

    Bild
    Logarithmische Skala

     

    Dabei ergibt 10 hoch dem dekadischen Wert den entsprechenden logarithmischen Wert.

    \(\begin{gathered} {10^0} = 1 \hfill \\ {10^1} = 10 \hfill \\ {10^2} = 100 \hfill \\ ... \hfill \\ {10^7} = 10.000.000 \hfill \\ \end{gathered} \)

     

    Beispiele für logarithmische Skalen:

    • Lautstärken misst man in Dezibel, wobei der leiseste hörbare Ton mit 0dB definiert ist. Ein 10-mal größerer Schalldruck ist mit 10dB definiert und ein 100-mal größerer Schalldruck ist mit 20 dB definiert....
    • Das Spektrum elektromagnetischer Wellen reicht von 100 Hz bis 1023 Hz. 
    • Aktienkurse, die alle 10 Jahre ihren Wert verzehnfachen, haben einen linear verlaufenden Graph, wenn die Zeitachse linear und die Werteachse logarithmisch beschriftet ist.
    • Potenzfunktionen werden als Gerade dargestellt, wenn sowohl die x- als auch die y-Achse logarithmisch beschriftet sind.
    Logarithmus
    Basis eines Logarithmus
    Numerus vom Logarithmus
    Natürlicher Logarithmus
    Dekadischer Logarithmus
    Binärer Logarithmus
    Zusammenhang dekadischer und natürlicher Logarithmus
    Logarithmen mit beliebiger Basis
    Logarithmieren
    Logarithmische Skala
    Rechnen mit Logarithmentafeln
    Logarithmen Grundbegriffe
    Fragen oder Feedback

    Schon den nächsten Urlaub geplant?
    Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
    Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

    Startseite
    rgb(244,123,130)
    Bild
    Illustration Poolliegen 1050 x 450
    Startseite
    Aufgaben
    Lösungsweg

    Aufgabe 6020

    Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

    Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst


    In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion

    \(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)

    beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

    Funktion h h(x) = 3 / (ℯ^(x + 1) - 1)


    1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

    Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.


    Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion 

    \(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)

    stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.

    2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

    Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion  \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.


    3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

    Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang  \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\)  verwenden.


    4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

    Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

    kostenlose Vorbereitung Mathe Abitur Bayern 2015 - Teil B - Analysis
    Zerfallsprozess
    Logarithmus
    Bestimmtes Integral
    Parameter einer Funktion
    Fragen oder Feedback

    Schon den nächsten Urlaub geplant?
    Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
    Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

    Startseite
    rgb(244,123,130)
    Bild
    Illustration Poolliegen 1050 x 450
    Startseite
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 4006

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
    Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Medikamentenabbau - Aufgabe A_251

    Teil a

    Der Abbau von Medikamenten im Körper kann näherungsweise durch exponentielle Modelle beschrieben werden. Die nachstehende Tabelle gibt an, welche Menge N(t) eines bestimmten Medikaments zur Zeit t im Körper vorhanden ist:

    t in h 0 2 4
    N(t) in mg 100 60 36

    1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

    Erklären Sie, warum die in der Tabelle angegebenen Daten die Beschreibung des Medikamentenabbaus durch ein exponentielles Modell nahelegen. [1 Punkt]


    2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

    Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N, die diesen Medikamentenabbau beschreibt. [1 Punkt]


    3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

    Berechnen Sie diejenige Menge des Medikaments, die zur Zeit t = 3 h im Körper vorhanden ist. [1 Punkt]

    Medikamentenabbau - Aufgabe A_251
    Exponentialfunktionen
    Logarithmus
    kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool alle Cluster
    Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2017 - kostenlos vorgerechnet
    Exponentialfunktion
    BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 3.6
    BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 3.9
    Fragen oder Feedback
    Lösungsweg

    Aufgabe 6016

    Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

    Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst


    Produkt einer Polynomfunktion mit einer Logarithmusfunktion

    Gegeben ist die Gleichung

    \(\left( {4x - 3} \right) \cdot \ln \left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\)

    1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

    Bestimmen Sie für \(x \in {\Bbb R}\) Lösungen der Gleichung

    kostenlose Vorbereitung Mathe Abitur Bayern 2015 - Teil A - Analysis
    abc-Formel
    Logarithmus
    Fragen oder Feedback
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 4053

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
    Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Spam - Aufgabe B_418

    Teil a
    Als Spam werden unerwünscht zugestellte E-Mails bezeichnet. Der nachstehenden Tabelle kann man die Entwicklung der Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails in Milliarden entnehmen.

    Beginn des Jahres Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails in Milliarden
    2010 62
    2011 42
    2012 30

    Die Anzahl der Spam-Mails kann näherungsweise durch die Funktion S beschrieben werden: \(S\left( t \right) = 50 \cdot {0,6^t} + 12\)
    mit:

    t Zeit in Jahren ab 2010, d. h. für den Beginn des Jahres 2010 gilt: t = 0
    S(t) Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails zur Zeit t in Milliarden

     


    1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
    Zeigen Sie, dass die Funktion S die Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails für den Beginn des Jahres 2012 richtig beschreibt.
    [1 Punkt]


    Die Funktion S kann auch in der Form \(S\left( t \right) = 50 \cdot {e^{k \cdot t}} + 12\) angegeben werden.

    2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
    Berechnen Sie k.
    [1 Punkt]


    3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
    Beschreiben Sie das Ergebnis der Berechnung \(\dfrac{{S\left( 5 \right) - S\left( 3 \right)}}{{S\left( 3 \right)}} \approx - 0,30\) im gegebenen Sachzusammenhang.
    [1 Punkt]

    Spam - Aufgabe B_418
    kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HAK
    kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster BAfEP, BASOP, BRP
    Logarithmus
    Relative Änderung
    Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2017 - kostenlos vorgerechnet
    Exponentialgleichungen
    Prozente und Promille
    Exponentialfunktion
    BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 1.5
    BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 2.11
    BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 3.1
    Fragen oder Feedback
    Lösungsweg

    Aufgabe 1105

    AHS - 1_105 & Lehrstoff: FA 5.2
    Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Werte einer Exponentialfunktion

    Gegeben ist die Exponentialfunktion f durch die Gleichung \(f\left( x \right) = {2^x}\)


    Aufgabenstellung:
    Bestimmen Sie diejenige rationale Zahl x, für die \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}\) gilt!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 5.2
    Exponentialfunktionen
    Werte einer Exponentialfunktion - 1105. Aufgabe 1_105
    Logarithmen mit beliebiger Basis
    Logarithmus
    Fragen oder Feedback

    Schon den nächsten Urlaub geplant?
    Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
    Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

    Startseite
    rgb(244,123,130)
    Bild
    Illustration Poolliegen 1050 x 450
    Startseite
    Lösungsweg

    Aufgabe 1104

    AHS - 1_104 & Lehrstoff: FA 5.2
    Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Exponentialgleichung

    Gegeben ist der Funktionswert \(\sqrt[3]{4}\) der Exponentialfunktion \(f\left( x \right) = {2^x}\)


    Aufgabenstellung:
    Bestimmen Sie die rationale Zahl x so, dass sie die Gleichung \({2^x} = \sqrt[3]{4}\) erfüllt!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 5.2
    Exponentialgleichung - 1104. Aufgabe 1_104
    Logarithmen mit beliebiger Basis
    Logarithmus
    Fragen oder Feedback
    Lösungsweg

    Aufgabe 1483

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Ausbreitung eines Ölteppichs

    Der Flächeninhalt eines Ölteppichs beträgt momentan 1,5 km2 und wächst täglich um 5 %.


    Aufgabenstellung:
    Geben Sie an, nach wie vielen Tagen d der Ölteppich erstmals größer als 2 km2 ist!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 5.1
    Exponentialfunktionen
    Ausbreitung eines Ölteppichs - 1483. Aufgabe 1_483
    Wachstumsfaktor
    Logarithmus
    Fragen oder Feedback
    Lösungsweg

    Aufgabe 213

    Rechnen mit Logarithmen

    1. Teilaufgabe:

    Berechne x

    \({2^x} = \dfrac{1}{8}\)


    2. Teilaufgabe:

    \({2^x} = \sqrt[3]{4}\)

    Exponent einer Potenz
    Logarithmus
    Rechnen mit Logarithmen
    Fragen oder Feedback
    Lösungsweg

    Aufgabe 214

    Rechnen mit Logarithmen

    Berechne x mit Hilfe der Rechenregeln für Logarithmen. Rechne zudem die Probe.

    1. Teilaufgabe

    \({4^x} = 10\)


    2. Teilaufgabe

    \({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} = 25\,\)


    3. Teilaufgabe

    Vereinfache, bis sich für x ein einfacher Bruchterm des Typen \(\dfrac{{\lg \left( a \right)}}{{\lg \left( b \right)}}\) ergibt

    \({5^{2x - 1}} = 15\)

    Exponent einer Potenz
    Logarithmus
    Rechnen mit Logarithmen
    Fragen oder Feedback

    Schon den nächsten Urlaub geplant?
    Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
    Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

    Startseite
    rgb(244,123,130)
    Bild
    Illustration Poolliegen 1050 x 450
    Startseite
    Lösungsweg

    Aufgabe 259

    Rechnen mit Logarithmen mit beliebiger Basis

    Berechne die Logarithmen ohne Taschenrechner:

     

    1. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 8 \right)\)

    2. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 1 \right)\)

    3. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {32} \right)\)

    4. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {\dfrac{1}{8}} \right)\)

     

    5. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {81} \right)\)

    6. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {\sqrt 3 } \right)\)

     

    7. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {0,2} \right)\)

    8. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {125} \right)\)

     

    9. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {1.000.000} \right)\)

    10. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {0,0001} \right)\)

    Logarithmen mit beliebiger Basis
    Logarithmus
    Fragen oder Feedback

    maths2mind®

    Kostenlos und ohne Anmeldung
    Lehrstoff und Aufgabenpool

    verständliche Erklärungen
    schneller Lernerfolg
    mehr Freizeit

    /
    Bild
    Illustration - Lady with Smartphone
    /

    Maths2Mind ist ein einzigartiges Angebot, einerseits zur Mathematik-Matura bzw. Abiturvorbereitung, andererseits zur Vermittlung eines breiten Grundlagenwissens zu den MINT-Fächern Mathematik, Elektrotechnik und Physik, das sich von anderen Online-Ressourcen abhebt.

    Hier sind einige der wesentlichen Alleinstellungsmerkmale von maths2mind.com:

    • Kostenlose Prüfungsvorbereitung: Nicht jede Familie kann es sich leisten, für Prüfungsvorbereitung zu bezahlen. Nutzer von maths2mind benötigen keine Kreditkarte, da es keine kostenpflichtigen Abonnementpakete gibt. Alle Inhalte sind kostenlos zugänglich!
    • Privatsphäre: Es werden keine zustimmungspflichtigen Cookies verwendet, es gibt keine webseitenübergreifende oder personalisierte Werbung. 
    • Anonymes Lernen: Alle Inhalte sind ohne Anmeldung zugänglich, sodass Schüler anonym lernen können.
    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

    /

    Fußzeile

    • FAQ
    • Über maths2mind
    • Cookie Richtlinie
    • Datenschutz
    • Impressum
    • AGB
    • Blog

    © 2022 maths2mind GmbH