Parameter einer Funktion

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion

\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)

beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.

Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion 

\(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)

stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion  \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.

3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang  \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\)  verwenden.

4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Polynomfunktion 3. Grades

Gegeben ist die Funktion f mit

\(f\left( x \right) = {x^3} - 6 \cdot {x^2} + 11 \cdot x - 6{\text{ und }}x \in {\Bbb R}\)

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt (2 | 0) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (3 | 2). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie eine Gleichung von h an.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion

\(f:x \mapsto 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ mit }}{D_f} = \left] {0;1} \right[\).

Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie die Nullstelle von f.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen von D_f 

3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von G_f an.

4. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Begründen Sie, dass f in D_f umkehrbar ist.

5. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von G_f .

6. Teilaufgabe b.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente w an G_f im Wendepunkt W von G_f .

(zur Kontrolle: x-Koordinate von W: 1/2)

Verschiebt man G_f so, dass der Wendepunkt W im Ursprung liegt, erhält man den Graphen der Funktion g.

7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie den Funktionsterm von g an.

8. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Welche Folgerung für G_f ergibt sich aus der Tatsache, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist?

9. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Zeichnen Sie G_f und die Tangente w unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.

G_f schließt mit den Koordinatenachsen und der Tangente w ein Flächenstück mit dem Inhalt A ein.

10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie A.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktionstypen

Im Folgenden sind vier Funktionsgleichungen (mit a, b ∈ ℝ⁺) angeführt und die Graphen von sechs reellen Funktionen dargestellt.

• Funktionsgleichung 1: \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
• Funktionsgleichung 2: \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
• Funktionsgleichung 3: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\)
• Funktionsgleichung 4: \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\)

• Graph A:
• Graph B:
• Graph C:
• Graph D:
• Graph E:
• Graph F:

Aufgabenstellung
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils den passenden Graphen (aus A bis F) zu!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parabeln zuordnen

Gegeben sind die Graphen von sechs Funktionen f₁, f₂, f₃, f₄, f₅ und f₆ mit der Gleichung \({f_i}\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) mit \(a,b \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \ne 0{\text{ }}\left( {{\text{i von 1 bis 6}}} \right)\).

• Graph 1 der Funktion f₁
• Graph 2 der Funktion f₂
• Graph 3 der Funktion f₃
• Graph 4 der Funktion f₄
• Graph 5 der Funktion f₅
• Graph 6 der Funktion f₆

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den folgenden Eigenschaften / Aussagen (A..D) jeweils den entsprechenden Graphen der dargestellten Funktionen (aus 1 bis 6) zu!

• Aussage A: a < 0 und b < 0
• Aussage B: a < 0 und b > 0
• Aussage C: a > 0 und b < 0
• Aussage D: a > 0 und b > 0

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Graph einer quadratischen Funktion

Gegeben ist der Graph einer Funktion g mit
\(g\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb Z}{\text{ und a}} \ne {\text{0}}\)

Bild

Aufgabenstellung:
Geben Sie die Parameter a und b so an, dass sie zum abgebildeten Graphen von g passen!