Umkehrbar eindeutige Funktionen

Bijektive, injektive und surjektive Funktionen

Abhängig von der Zuordnung zwischen den Elementen der Definitions- und der Wertemenge unterscheidet man zwischen bijektiven, injektiven und surjektiven Funktionen.

Bijektivität

Bijektiv oder umkehrbar eindeutig ist eine Funktion f(x) dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge D_f eindeutig ein Element y der Wertemenge W_f zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge W_f genau ein Element x der Definitionsmenge D_f gehört. Umkehrbar eindeutige Funktionen heißen auch „ein-eindeutig“. Die Zuordnung von Wertepaaren ist also in beide Richtungen eindeutig, daher „umkehrbar“ eindeutig. Bijektive Funktionen sind daher sowohl injektiv als auch surjektiv. 

Um zu zeigen, dass eine Funktion bijektiv ist und somit eine Umkehrfunktion besitzt, muss man zeigen, dass sie

• entweder streng monoton steigend ist, dh man zeigt, dass f'(x)>0 ist
• oder dass sie streng monoton fallend ist, dh man zeigt, dass f'(x)<0 ist.
   

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = y\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{f^{ - 1}}\left( y \right) = x \cr & {f^{ - 1}} = {\text{Umkehrfunktion}} \cr}\)

Illustration einer bijektiven Funktion

Umkehrfunktion

Eine bijektive Funktion ist immer invertierbar, sie hat also eine Umkehrfunktion. Eine Funktion f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion f^-1, wenn sie streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Der Graph der Umkehrfunktion f^-1 geht durch Spiegelung vom Funktionsgraphen f um die 1. Mediane hervor.

Reziproke Funktion

Der Kehrwert einer Funktion wird als reziproke Funktion bezeichnet. Achtung: Die reziproke Funktion ist ungleich der Umkehrfunktion

\(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\)

Illustration einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion

Injektivität

Injektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertemenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird höchstens von einem (oder keinem) Pfeil aus der Definitionsmenge getroffen.

Illustration einer injektiven, aber nicht surjektiven Funktion

Surjektivität

Surjektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird mindestens von einem (oder mehreren) Pfeil(en) aus der Definitionsmenge getroffen.

Illustration einer surjektiven, aber nicht injektiven Funktion