Aufgabe 6034
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen Gf der Funktion f
\(f:x \mapsto \sqrt {16 - 2x} = \sqrt {2 \cdot \left( {8 - x} \right)} \)
Bild
Gegeben ist weiter die Gerade g mit der Gleichung \(y = - \dfrac{1}{2}x + 7,5\)
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeichnen Sie die Gerade g in die Abbildung ein.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punkts \(T\left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right)\) von Gf , in dem die Tangente an Gf parallel zur Geraden g ist.
(Teilergebnis: xT=6 )
3. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie den Abstand d des Punkts T von der Geraden g.
Betrachtet wird zusätzlich die Differenzfunktion
\(u:x \mapsto g\left( x \right) - f\left( x \right){\text{ mit }}{D_u} = {D_f}\)
4. Teilaufgabe c) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Zeigen Sie, dass u an der Stelle xT ein Minimum u(xT) besitzt.
5. Teilaufgabe d.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie ohne Rechnung, dass das Minimum u(xT) der Differenzfunktion u größer ist als der Abstand des Punkts T von der Geraden g.
6. Teilaufgabe d.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeichnen Sie dazu auch geeignete Strecken in oben stehende Abbildung ein.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir konstruieren mit Hilfe von GeoGebra sowohl den Graph der Funktion als auch die Gerade.
Bild
2. Teilaufgabe:
Koordinaten des Berührpunkts der Tangente
- Wir bilden in der CAS Ansicht mit Hilfe des GeoGebra Befehls "Ableitung Funktion" die 1. Ableitung f'(x).
- Im Berührpunkt der parallel verschobenen Geraden muss die Steigung k=-0,5 der Geraden gleich groß mit der Steigung der Funktion f(x) sein. Mit Hilfe des GeoGebra Befehls "Löse Gleichung" lösen wir die Gleichung \(f'\left( x \right) = - 0,5\)
- Als Lösung erhalten wir die x-Koordinate der Berührpunkts zu x=6
-
Wir setzen x=6 in die Gleichung der Funktion f(x) ein und erhalten y=2
→Die Koordinaten des Berührpunkts der Tangente an den Graph Gf lauten: T(6|2).
Bild
3. Teilaufgabe:
Abstand d des Punkts T von der Geraden g
Den Abstand d berechnen wir mit Hilfe des GeoGebra Befehls Abstand. Als "Punkt" verwenden wir T als "Objekt" verwenden wir g
GeoGebra Abstand(Punkt, Objekt)
→ Der gesuchte Abstand ergibt sich zu \(d = \sqrt 5 \)
Bild
4. Teilaufgabe:
Zeigen Sie, dass u an der Stelle xT ein Minimum u(xT) besitzt
\(\begin{array}{l} g(x) = - \dfrac{1}{2}x + 7,5\\ f\left( x \right) = \sqrt {16 - 2x} \\ u(x) = g\left( x \right) - f\left( x \right) \end{array}\)
Wir bilden zuerst die Differenz der beiden gegebenen Funktionen und setzen deren 1. Ableitung gleich Null. Dadurch erhalten wir den x-Wert vom lokalen Extremwert von u(x) zu x=6. Da dies dem Wert xT entspricht ist der Beweis erbracht.
Man muss noch zeigen, dass der Wert der 2. Ableitung u''(x)=0,125>0 ist, womit der Extremwert auch tatsächlich ein Minimum ist.
Bild
5. Teilaufgabe:
Das Minimum u(xT) der Differenzfunktion u ist größer als der Abstand des Punkts T von der Geraden g.
Wir fassen zusammen:
- \(T({x_T},{y_T})\) ist der Berührpunkt der Tangente an die Funktion f(x). Bei der Tangente handelt es sich um die parallel verschobene Gerade g. Der Normalabstand auf g durch T heißt d und wurde zu \(d = \sqrt 5 \approx 2,2361\) berechnet.
- Wir haben berechnet, dass das Minimum der Differenzfunktion u an der Stelle u(xT) liegt. Der zugehörige y-Wert, also das Minimum der Differenzfunktion ergibt sich zu \(u\left( 6 \right) = {y_T} = 2,5\)
D.h das Minimum der Differenzenfunktion beträgt 2,5 und ist somit tatsächlich größer als der Normalabstand des Punktes T von der Geraden g der nur 2,236 beträgt.
6. Teilaufgabe:
Geeignete Strecken in die Abbildung eintragen:
Bild
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Bild
2. Teilaufgabe:
Die Koordinaten des Berührpunkts der Tangente an den Graph Gf lauten: T(6|2).
3. Teilaufgabe:
\(d = \sqrt 5 \)
4. Teilaufgabe:
Durch Nullsetzen der 1. Ableitung der Differenzfunktion erhalten wir das Minimum, und es hat die selbe x-Komponente wie T.
5. Teilaufgabe:
D.h das Minimum der Differenzenfunktion beträgt 2,5 und ist somit tatsächlich größer als der Normalabstand des Punktes T von der Geraden g der nur 2,236 beträgt.
6. Teilaufgabe:
Bild