Aufgabe 6018
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion f mit
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\).
Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zeigen Sie, dass f (x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:
- Term 1: \(\dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 3} \right)}}\)
- Term 2: \(\dfrac{2}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
- Term 3: \(\dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( {x + 2} \right)}^2} - 0,5}}\)
2. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von Gf ist.
3. Teilaufgabe b.2) 1 BE - Bearbeitungszeit:2:20
Geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von Gf an.
4. Teilaufgabe b.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse.
Die nachfolgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion
\(p:x \mapsto 0,5 \cdot {\left( {x + 2} \right)^2} - 0,5\), die die Nullstellen x=- 3 und x=-1 hat.
Für \(x \in {D_f}{\text{ gilt }}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{p\left( x \right)}}\)
Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f‘ und p‘ die Beziehung
\(f'\left( x \right) = - \dfrac{{p'\left( x \right)}}{{{{\left( {p\left( x \right)} \right)}^2}}}{\text{ für x}} \in {{\text{D}}_f}\)
5. Teilaufgabe c.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass x=-2 einzige Nullstelle von f‘ ist.
6. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass Gf in \(\left] { - 3;2} \right[\) streng monoton steigend ist
7. Teilaufgabe c.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass Gf in \(\left] { - 2; - 1} \right[\) streng monoton fallend ist.
8. Teilaufgabe c.4) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie Lage des Extrempunkts von Gf an.
Geben Sie Art des Extrempunkts von Gf an.
9. Teilaufgabe d.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie f (-5) und f (-1,5)
10. Teilaufgabe d.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Skizzieren Sie Gf unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.