Natürliche Exponentialfunktion
Formel
Natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion, Euler’sche Funktion genannt, ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & f\left( 0 \right) = {e^0} = 1 \cr & f'\left( x \right) = {e^x} \cr}\)
- Die natürliche Exponentialfunktion ist eine speziell Exponentialfunktion, nämlich mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis: \(f\left( x \right) = {e^x} = {a^x}{\text{ mit }}a = e = 2,7182818..\)
- Gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) zeichnet sich die e-Funktion durch ihre Steigung aus:
- Als einzige Funktion f(x) ist ihre Ableitung f'(x) identisch mit der Funktion selbst.
- Die Stammfunktion F(x) ist ebenfalls - die um c auf der x-Achse verschobene - Funktion f(x)
- \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) = F(x) = {e^x}\)
- \(f'\left( {x = 0} \right) = {e^0};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 1} \right) = {e^1};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 2} \right) = {e^2}\)
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_1}(1\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_2}\left( {2\left| {{e^2}} \right.} \right),{\text{ usw}}.\)
- Sie ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion
- Sie dient zur Beschreibung von Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen.
Natürliche Exponentialfunktion mit Anfangswert N0
Exponentielles Wachstum, exponentieller Zerfall
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- N0 ... Startwert, Startwert
- \(\lambda {\text{ > 0}}\) - positives l: Wachstumskonstante
- \(\lambda {\text{ < 0}}\) - negatives l: Zerfallskonstante
Natürliche Exponentialfunktion - Illustration zeigt Wachstum für \(\lambda = + 1\) bzw. Zerfall für \(\lambda = - 1\)
Natürliche Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration einer natürlichen Exponentialfunktion zeigt die Wirkung von \(\lambda\) und von N0 auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler \(\lambda\): Entscheidet über Wachstum oder Zerfall
- Regler N0: Entscheidet über Startwert
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Aktuelle Lerneinheit
Natürliche Exponentialfunktion | Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Wichtige Funktionswerte | Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. |
Grad einer Funktion | Der Grad einer Funktion ist gleich groß der Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x. |
Polynomfunktionen n-ten Grades | Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. |
Logarithmusfunktionen | Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion |
Wurzelfunktionen | Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x |
Potenzfunktionen | Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt. |
Exponentialfunktion | Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. |
Gebrochenrationale Funktionen | Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) sind zu den Potenzen der Argumenten x indirekt proportional. |
Quadratische Funktion | Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. |
Intervallweise lineare Funktion | Bei intervallweisen linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definieren Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. |
Lineare Funktion | Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Achsenabschnitt auf der y-Achse ist. |
Nullstelle einer Funktion | Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). |
Periodische Funktion | Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird
|
Gerade und ungerade Funktionen | Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. |
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen | Umkehrbar eindeutig ist eine Funktion dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge eindeutig ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge genau ein Element x der Definitionsmenge gehört. |
Taylorpolynom | Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren |
Parameter von Funktionen | Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1020
AHS - 1_020 & Lehrstoff: FA 5.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentielle Abnahme
Die angegebenen Funktionsgleichungen beschreiben exponentielle Zusammenhänge.
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {1,2^x}\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {e^{0,2x}}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {0,2^x}\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {0,2^{ - x}}\)
- Aussage 5: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {e^{ - 0,2x}}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Funktionsgleichungen an, die eine exponentielle Abnahme beschreiben!
Aufgabe 1085
AHS - 1_085 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Relative und absolute Zunahme
Die Formel \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}{\text{ mit }}a > 1\) beschreibt ein exponentielles Wachstum.
- Aussage 1: Die relative Zunahme ist in gleichen Zeitintervallen gleich groß.
- Aussage 2: Die absolute Zunahme ist in gleichen Zeitintervallen gleich groß.
- Aussage 3: Die relative Zunahme ist unabhängig von N0.
- Aussage 4: Die relative Zunahme ist abhängig von a.
- Aussage 5: Die absolute Zunahme ist abhängig von a.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1023
AHS - 1_023 & Lehrstoff: FA 5.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentielles Wachstum
Die Funktion f mit \(f\left( x \right) = 100 \cdot {2^x}\) beschreibt einen exponentiellen Wachstumsprozess. Wie verändert sich der Funktionswert, wenn x um 1 erhöht wird?
Der Funktionswert f(x+1) ist ...
- Aussage 1: um 1 größer als f(x)
- Aussage 2: doppelt so groß wie f(x)
- Aussage 3: um 100 größer als f(x)
- Aussage 4: um 200 größer als f(x)
- Aussage 5: um 100% größer als f(x)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 4012
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rohmilchproduktion - Aufgabe A_252
Teil c
In Österreich produzierte Rohmilch enthält unmittelbar nach dem Melken durchschnittlich 20 000 Keime pro Milliliter (ml). Ein Modell geht davon aus, dass sich die Anzahl der Keime alle 25 Minuten verdoppelt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie, dass die unten angegebene Funktion N nicht diesem Modell entspricht.
[1 Punkt]
\(N\left( t \right) = 20\,\,000 + 800 \cdot t\)
mit
t | Zeit nach dem Melken in min |
N(t) | Anzahl der Keime pro ml zur Zeit t |
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Aufgabe 1820
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum einer Sonnenblume
Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume wurde über einige Wochen jeweils zu Wochenbeginn gemessen. Zum Messbeginn t = 0 hatte die Sonnenblume die Höhe H0 = 5 cm.
Für jeden Zeitpunkt t (mit 0 ≤ t ≤ 5) gibt Ht die Höhe der Sonnenblume an. Die nachstehende Tabelle zeigt die (gerundeten) Messergebnisse für die Höhe der Sonnenblume für die ersten 5 Wochen.
Zeit t (in Wochen nach Messbeginn) |
Höhe der Sonnenblume Ht (in cm) |
1 | 36 |
2 | 68 |
3 | 98 |
4 | 128 |
5 | 159 |
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die absolute wöchentliche Zunahme der Höhe der Sonnenblume ist _____1_____ ; die Hohe der Sonnenblume Ht kann daher näherungsweise durch eine Differenzengleichung der Form _____2_____ beschrieben werden.
- Aussage 1: immer geringer als jene in der jeweils vorangegangenen Woche
- Aussage 2: immer größer als jene in der jeweils vorangegangenen Woche
- Aussage 3: annähernd konstant
- Gleichung 1: \({H_{t + 1}} = {H_t} \cdot \left( {1 + k} \right){\text{ mit }}k \in {\Bbb R}\)
- Gleichung 2: \({H_{t + 1}} = {H_t}{\text{ + k mit }}k \in {\Bbb R}\)
- Gleichung 3: \({H_{t + 1}} = {H_t} + r \cdot \left( {k - {H_t}} \right){\text{ mit }}k,r \in {\Bbb R}{\text{ und }}0 < r < 1\)
[0 / ½ / 1 Punkt]
Aufgabe 4247
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pflanzenwachstum - Aufgabe A_292
Teil c
Die Höhe einer bestimmten Pflanze wird täglich zu Mittag gemessen. Zu Beobachtungsbeginn hat die Pflanze die Höhe H0. Sie wachst um 0,5 % pro Tag bezogen auf die Höhe des jeweils vorangegangenen Tages.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von H0 eine Formel zur Berechnung der Höhe H dieser Pflanze 10 Tage nach Beobachtungsbeginn.
H =
[1 Punkt]
Aufgabe 4415
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sozialausgaben - Aufgabe B_481 & B_482
Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.
Teil b
Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind in der nachstehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).
Jahr | Sozialausgaben in Milliarden € |
1990 | 35,5 |
1995 | 51,0 |
2000 | 59,8 |
2005 | 71,2 |
2010 | 87,8 |
2015 | 102,5 |
Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
(nur HAK)
Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang:
\(\root 5 \of {\dfrac{{87,8}}{{71,2}}} - 1 \approx 0,043\)
Eine Sozialwissenschaftlerin geht von der Annahme aus, dass die Sozialausgaben in Österreich seit dem Jahr 2015 jährlich um 2,5 % bezogen auf das jeweilige Vorjahr steigen. Dieses Modell soll durch eine Funktion S2 beschrieben werden.
t | Zeit ab 2015 in Jahren |
S2(t) | Sozialausgaben zur Zeit t in Milliarden Euro |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion S2.
Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2015.
[1 Punkt]
Aufgabe 1318
AHS - 1_318 & Lehrstoff: FA 5.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pulver
Ein Pulver löst sich in einer Flüssigkeit annähernd exponentiell auf. Die Menge an Pulver, die in Abhängigkeit von der Zeit t noch vorhanden ist, wird für einen gewissen Zeitraum durch die Gleichung \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {0,6^t}\) beschrieben. N0 gibt die ursprüngliche Menge an Pulver in Milligramm an, die Zeit t wird in Sekunden gemessen.
Aufgabenstellung
Geben Sie an, wie viel Prozent der ursprünglichen Pulvermenge N0 nach drei Sekunden noch vorhanden sind!
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Aufgabe 1020
AHS - 1_020 & Lehrstoff: FA 5.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentielle Abnahme
Die angegebenen Funktionsgleichungen beschreiben exponentielle Zusammenhänge.
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {1,2^x}\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {e^{0,2x}}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {0,2^x}\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {0,2^{ - x}}\)
- Aussage 5: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {e^{ - 0,2x}}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Funktionsgleichungen an, die eine exponentielle Abnahme beschreiben!
Aufgabe 1696
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wirkstoff
Die Abnahme der Menge des Wirkstoffs eines Medikaments im Blut lässt sich durch eine Exponentialfunktion modellieren. Nach einer Stunde sind 10 % der Anfangsmenge des Wirkstoffs abgebaut worden.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, welcher Prozentsatz der Anfangsmenge des Wirkstoffs nach insgesamt vier Stunden noch im Blut vorhanden ist!
____ % der Anfangsmenge
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 1649
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit
Die Masse m(t) einer radioaktiven Substanz kann durch eine Exponentialfunktion m in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden. Zu Beginn einer Messung sind 100 mg der Substanz vorhanden, nach vier Stunden misst man noch 75 mg dieser Substanz.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Halbwertszeit tH dieser radioaktiven Substanz in Stunden!
Aufgabe 4161
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vitamin C - Aufgabe A_281
Teil a
Der Vitamin-C-Gehalt eines Apfels nimmt nach der Ernte exponentiell ab. Alle 4 Wochen nimmt der Vitamin-C-Gehalt um 20 % bezogen auf den Wert zu Beginn dieser 4 Wochen ab. Ein bestimmter Apfel hat bei der Ernte einen Vitamin-C-Gehalt von 18 mg. Der Vitamin-C-Gehalt dieses Apfels in Milligramm soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Wochen beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Funktion. Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt der Ernte.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Vitamin-C-Gehalt dieses Apfels 36 Wochen nach der Ernte.
[1 Punkt]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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