Aufgabe 1020
AHS - 1_020 & Lehrstoff: FA 5.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentielle Abnahme
Die angegebenen Funktionsgleichungen beschreiben exponentielle Zusammenhänge.
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {1,2^x}\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {e^{0,2x}}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {0,2^x}\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {0,2^{ - x}}\)
- Aussage 5: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {e^{ - 0,2x}}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Funktionsgleichungen an, die eine exponentielle Abnahme beschreiben!
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil die Basis nicht zwischen 0 und 1 liegt, und der Exponent positiv ist
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil die Basis (e=2,718...) nicht zwischen 0 und 1 liegt, und der Exponent positiv ist
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil die Basis zwischen 0 und 1 liegt, und der Exponent positiv ist
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, es liegt zwar die Basis zwischen 0 und 1, aber der negative Exponent kehrt das Monotonieverhalten um
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, obwohl die Basis (e=2,718...) nicht zwischen 0 und 1 liegt, kehrt der negative Exponent das Monotonieverhalten aber um
Wir haben dabei folgendes Wissen angewendet:
- Bei allen 5 Aussage ist der Anfangswert / Startwert positiv, er wirkt sich also nicht auf das Monotonieverhalten aus.
- Die Funktion \(f\left( x \right) = {a^x}\) ist für 0<a<1 monoton fallend
- Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\) kehrt das Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- Der Betrag von x, also \(\left| x \right|\), ändert nichts am Monotonieverhalten, im Unterschied zur Basis a ist es also für das Monotonieverhalten egal ob der Betrag von größer oder kleiner 1 ist.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.