Aufgabe 1649
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit
Die Masse m(t) einer radioaktiven Substanz kann durch eine Exponentialfunktion m in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden. Zu Beginn einer Messung sind 100 mg der Substanz vorhanden, nach vier Stunden misst man noch 75 mg dieser Substanz.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Halbwertszeit tH dieser radioaktiven Substanz in Stunden!
Lösungsweg
Bei diesem Beispiel liegt ein exponentieller Zerfall vor. Die dafür typische Gleichung lautet:
\(m\left( t \right) = 100 \cdot {a^t}\)
Wir rechnen zunächst die Basis a aus, um damit dann die Funktion für die Abnahme der Masse anschreiben zu können:
\(\eqalign{
& m\left( t \right) = 100 \cdot {a^t} \cr
& m\left( {t = 0} \right) = 100 \cr
& m\left( {t = 4} \right) = 75 = 100 \cdot {a^{t = 4}} \cr
& 75 = 100 \cdot {a^4} \cr
& {a^4} = \dfrac{{75}}{{100}} = 0,75 \cr
& a = \root 4 \of {0,75} \cr
& m(t) = 100 \cdot {\left( {\root 4 \of {0,75} } \right)^t} \cr} \)
Nun wollen wir wissen, nach welcher Zeit t die Masse auf 50mg gesunken ist:
\(\eqalign{
& 50 = 100 \cdot {\left( {\root 4 \of {0,75} } \right)^t}\,\,\,\,\,\left| {:100} \right. \cr
& 0,5 = {\left( {\root 4 \of {0,75} } \right)^t}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr
& \ln \left( {0,5} \right) = \ln \left( {\root 4 \of {0,75} } \right) \cdot t \cr
& t = \dfrac{{\ln 0,5}}{{ln\left( {\root 4 \of {0,75} } \right)}} \approx 9,63768 \cr} \)
Die Halbwertszeit tH beträgt ca. 9,64 Stunden
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
tH ≈ 9,64 Stunden
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Stunden“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [9,6 Stunden; 10 Stunden]