Aufgabe 1023
AHS - 1_023 & Lehrstoff: FA 5.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentielles Wachstum
Die Funktion f mit \(f\left( x \right) = 100 \cdot {2^x}\) beschreibt einen exponentiellen Wachstumsprozess. Wie verändert sich der Funktionswert, wenn x um 1 erhöht wird?
Der Funktionswert f(x+1) ist ...
- Aussage 1: um 1 größer als f(x)
- Aussage 2: doppelt so groß wie f(x)
- Aussage 3: um 100 größer als f(x)
- Aussage 4: um 200 größer als f(x)
- Aussage 5: um 100% größer als f(x)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Wir errechnen den Funktionswert an der Stelle x+1 indem wir in die gegebenen Gleichung der Exponentialfunktion einsetzen. Danach prüfen wir welche der 5 Aussagen richtig ist.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 100 \cdot {2^x} \to f\left( {x + 1} \right) = 100 \cdot {2^{x + 1}} = 100 \cdot {2^x} \cdot {2^1} = 2 \cdot f\left( x \right) \cr & f\left( {x + 1} \right) = 2 \cdot f\left( x \right) \cr} \)
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil
\(f\left( x \right) = 100 \cdot {2^x} \to f\left( {x + 1} \right) = 100 \cdot {2^{x + 1}} = 100 \cdot {2^x} \cdot {2^1} = 2 \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil
\(f\left( x \right) = 100 \cdot {2^x} \to f\left( {x + 1} \right) = 100 \cdot {2^{x + 1}} = 100 \cdot {2^x} \cdot {2^1} = 2 \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil
\(f\left( x \right) = 100 \cdot {2^x} \to f\left( {x + 1} \right) = 100 \cdot {2^{x + 1}} = 100 \cdot {2^x} \cdot {2^1} = 2 \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil
\(f\left( x \right) = 100 \cdot {2^x} \to f\left( {x + 1} \right) = 100 \cdot {2^{x + 1}} = 100 \cdot {2^x} \cdot {2^1} = 2 \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil 200% einer Verdoppelung entspricht \(f\left( x \right) = 100 \cdot {2^x} \to f\left( {x + 1} \right) = 100 \cdot {2^{x + 1}} = 100 \cdot {2^x} \cdot {2^1} = 2 \cdot f\left( x \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.