Natürliche Exponentialfunktion
Formel
Natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion, Euler’sche Funktion genannt, ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & f\left( 0 \right) = {e^0} = 1 \cr & f'\left( x \right) = {e^x} \cr}\)
- Die natürliche Exponentialfunktion ist eine speziell Exponentialfunktion, nämlich mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis: \(f\left( x \right) = {e^x} = {a^x}{\text{ mit }}a = e = 2,7182818..\)
- Gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) zeichnet sich die e-Funktion durch ihre Steigung aus:
- Als einzige Funktion f(x) ist ihre Ableitung f'(x) identisch mit der Funktion selbst.
- Die Stammfunktion F(x) ist ebenfalls - die um c auf der x-Achse verschobene - Funktion f(x)
- \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) = F(x) = {e^x}\)
- \(f'\left( {x = 0} \right) = {e^0};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 1} \right) = {e^1};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 2} \right) = {e^2}\)
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_1}(1\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_2}\left( {2\left| {{e^2}} \right.} \right),{\text{ usw}}.\)
- Sie ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion
- Sie dient zur Beschreibung von Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen.
Natürliche Exponentialfunktion mit Anfangswert N0
Exponentielles Wachstum, exponentieller Zerfall
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- N0 ... Startwert, Startwert
- \(\lambda {\text{ > 0}}\) - positives l: Wachstumskonstante
- \(\lambda {\text{ < 0}}\) - negatives l: Zerfallskonstante
Natürliche Exponentialfunktion - Illustration zeigt Wachstum für \(\lambda = + 1\) bzw. Zerfall für \(\lambda = - 1\)
Natürliche Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration einer natürlichen Exponentialfunktion zeigt die Wirkung von \(\lambda\) und von N0 auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler \(\lambda\): Entscheidet über Wachstum oder Zerfall
- Regler N0: Entscheidet über Startwert
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Aktuelle Lerneinheit
Natürliche Exponentialfunktion | Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis |
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Wichtige Funktionswerte | Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. |
Grad einer Funktion | Der Grad einer Funktion ist gleich groß der Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x. |
Polynomfunktionen n-ten Grades | Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. |
Logarithmusfunktionen | Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion |
Wurzelfunktionen | Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x |
Potenzfunktionen | Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt. |
Exponentialfunktion | Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. |
Gebrochenrationale Funktionen | Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) sind zu den Potenzen der Argumenten x indirekt proportional. |
Quadratische Funktion | Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. |
Intervallweise lineare Funktion | Bei intervallweisen linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definieren Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. |
Lineare Funktion | Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Achsenabschnitt auf der y-Achse ist. |
Nullstelle einer Funktion | Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). |
Periodische Funktion | Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird
|
Gerade und ungerade Funktionen | Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. |
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen | Umkehrbar eindeutig ist eine Funktion dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge eindeutig ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge genau ein Element x der Definitionsmenge gehört. |
Taylorpolynom | Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren |
Parameter von Funktionen | Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4270
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenlicht und Vitamin D - Aufgabe A_300
Für die Bildung von Vitamin D in der Haut ist Sonnenlicht nötig.
Teil b
Die Vitamin-D-Konzentration in Claudias Blut sinkt ab Herbstbeginn und lässt sich durch die Funktion N beschreiben.
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - 0,0173 \cdot t}}\)
- t ... Zeit ab Herbstbeginn in Tagen
- N(t) ... Vitamin-D-Konzentration in Claudias Blut zur Zeit t in Nanogramm pro Milliliter (ng/ml)
- N0 ... Vitamin-D-Konzentration in Claudias Blut zu Herbstbeginn in ng/ml
Der Körper ist ausreichend mit Vitamin D versorgt, wenn dessen Konzentration im Blut mindestens 30 ng/ml beträgt. Claudia mochte wissen, wie hoch die Vitamin-D-Konzentration im Blut zu Herbstbeginn mindestens sein muss, damit ihr Körper nach 60 Tagen noch ausreichend mit Vitamin D versorgt ist.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die dafür notwendige Vitamin-D-Konzentration zu Herbstbeginn.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Im obigen Modell beträgt die Halbwertszeit beim Abbau von Vitamin D in Claudias Körper 40 Tage.
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: Nach 80 Tagen ist noch die Hälfte von N0 vorhanden.
- Aussage 2: Nach 100 Tagen ist noch ein Drittel von N0 vorhanden.
- Aussage 3: Nach 120 Tagen ist noch ein Viertel von N0 vorhanden.
- Aussage 4: Nach 140 Tagen ist noch ein Achtel von N0 vorhanden.
- Aussage 5: Nach 160 Tagen ist noch ein Sechzehntel von N0 vorhanden.
Aufgabe 4297
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Klimawandel und Ozon - Aufgabe A_225
Teil b
Bei einer Messstation im Bereich des südlichen Polarkreises kann die Ozonmenge pro Quadratmeter in Abhängigkeit von der Zeit für einen bestimmten Zeitraum näherungsweise durch die Funktion N beschrieben werden:
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {0,9917^t}\)
- t ... Zeit in Jahren
- N(t) ... Ozonmenge pro Quadratmeter zur Zeit t
- N0 ... Ozonmenge pro Quadratmeter zur Zeit t = 0
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Ozonmenge pro Quadratmeter jährlich abnimmt.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Die Gleichung \(0,5 = {0,9917^t}\) wird gelöst.
Beschreiben Sie die Bedeutung der Lösung dieser Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Aufgabe 4318
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit des Wissens - Aufgabe A_159
Das zu einem bestimmten Zeitpunkt erworbene Wissen verliert im Laufe der Zeit aufgrund gesellschaftlicher Veränderungen, technologischer Neuerungen etc. an Aktualität und Gültigkeit („Relevanz“). Die nachstehende Abbildung beschreibt die Abnahme der Relevanz des Wissens in verschiedenen Fachbereichen. Für jedes Jahr wird angegeben, wie viel Prozent des ursprünglichen Wissens noch relevant sind.
Teil b
Die Relevanz von Technologiewissen nimmt mit einer Halbwertszeit von 3 Jahren exponentiell ab.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie diejenige Exponentialfunktion auf, die die Relevanz des Technologiewissens in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Relevanz des Technologiewissens auf 1 % der anfänglichen Relevanz abgesunken ist.
[1 Punkt]
Aufgabe 4319
tandardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit des Wissens - Aufgabe A_159
Das zu einem bestimmten Zeitpunkt erworbene Wissen verliert im Laufe der Zeit aufgrund gesellschaftlicher Veränderungen, technologischer Neuerungen etc. an Aktualität und Gültigkeit („Relevanz“).
Teil c
Die Relevanz des Hochschulwissens lässt sich durch folgende Funktion N beschreiben:
\(N\left( t \right) = 100 \cdot {e^{ - 0,0693 \cdot t}}\)
- t ... Zeit in Jahren
- N(t) ... Relevanz des Hochschulwissens zur Zeit t in % des anfänglichen Hochschulwissens
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Relevanz des Hochschulwissens nach 7 Jahren bereits abgenommen hat.
[1 Punkt]
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Aufgabe 1864
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Medikament
Der schmerzlindernde Wirkstoff eines Medikaments wird im Körper eines bestimmten Patienten annähernd exponentiell abgebaut. Dabei nimmt die Wirkstoffmenge pro Stunde um 8 % ab.
Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Wirkstoffmenge 700 Mikrogramm.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie, nach welcher Zeit (in h) die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten auf 100 Mikrogramm gesunken ist.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 1279
AHS - 1_279 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zerfallsprozess
Die Population P einer vom Aussterben bedrohten Tierart sinkt jedes Jahr um ein Drittel der Population des vorangegangenen Jahres. P0 gibt die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Tiere an.
- Aussage 1: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^t}\)
- Aussage 2: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}\)
- Aussage 3: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{3} \cdot t} \right)\)
- Aussage 4: \(P\left( t \right) = \dfrac{{{P_0}}}{{3 \cdot t}}\)
- Aussage 5: \(P\left( t \right) = \dfrac{{2 \cdot {P_0}}}{3} \cdot t\)
- Aussage 6: \(P\left( t \right) = {\left( {{P_0} - \dfrac{1}{3}} \right)^t}\)
Aufgabenstellung
Welche der obenstehend angeführten Gleichungen beschreibt die Population P in Abhängigkeit von der Anzahl der abgelaufenen Jahre t? Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
Aufgabe 1343
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zerfallsprozess
Der unten abgebildete Graph einer Funktion N stellt einen exponentiellen Zerfallsprozess dar; Dabei bezeichnet t die Zeit und N(t) die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge des zerfallenden Stoffes. Für die zum Zeitpunkt t = 0 vorhandene Menge gilt: N(0) = 800.
Mit tH ist diejenige Zeitspanne gemeint, nach deren Ablauf die ursprüngliche Menge des zerfallenden Stoffes auf die Hälfte gesunken ist.
- Aussage 1: \({t_H} = 6\)
- Aussage 2: \({t_H} = 2\)
- Aussage 3: \({t_H} = 3\)
- Aussage 4: \(N\left( {{t_H}} \right) = 400\)
- Aussage 5: \(N\left( {{t_H}} \right) = 500\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 6020
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion
\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)
beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.
Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion
\(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)
stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.
3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\) verwenden.
4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
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Aufgabe 1700
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Werte einer Ableitungsfunktion
Gegeben ist die Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = 3 \cdot {e^x}\)
Aufgabenstellung:
Die nachstehenden Aussagen beziehen sich auf Eigenschaften der Funktion f bzw. deren Ableitungsfunktion f′. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: Es gibt eine Stelle \(x \in {\ R}{\text{ mit f'}}\left( x \right) = 2\)
- Aussage 2: Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}f'\left( x \right) > f'\left( {x + 1} \right)\)
- Aussage 3: Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}f'\left( x \right) = 3 \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 4: Es gibt eine Stelle \(x \in {\Bbb R}{\text{ mit }}f'\left( x \right) = 0\)
- Aussage 5: Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}f'\left( x \right) \geqslant 0\)
[0 / 1 Punkt]