Aufgabe 4415
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sozialausgaben - Aufgabe B_481 & B_482
Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.
Teil b
Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind in der nachstehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).
Jahr | Sozialausgaben in Milliarden € |
1990 | 35,5 |
1995 | 51,0 |
2000 | 59,8 |
2005 | 71,2 |
2010 | 87,8 |
2015 | 102,5 |
Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
(nur HAK)
Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang:
\(\root 5 \of {\dfrac{{87,8}}{{71,2}}} - 1 \approx 0,043\)
Eine Sozialwissenschaftlerin geht von der Annahme aus, dass die Sozialausgaben in Österreich seit dem Jahr 2015 jährlich um 2,5 % bezogen auf das jeweilige Vorjahr steigen. Dieses Modell soll durch eine Funktion S2 beschrieben werden.
t | Zeit ab 2015 in Jahren |
S2(t) | Sozialausgaben zur Zeit t in Milliarden Euro |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion S2.
Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2015.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
(nur HAK)
Wir bauen den Term auf der linken Seite nach. Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist:
- 71,2 entspricht den Sozialausgaben 2005
- 87,8 entspricht den Sozialausgaben 2010
Der Wert der Sozialausgaben von 2005 ist bis 2010 fünf-mal um einen uns unbekannten Wachstumsfaktor qn gewachsen. Ähnlich wie ein Sparguthaben auf Grund der jährlichen Zinsen wächst, wobei q=i+1 bzw. i=q-1 gilt:
\(\eqalign{ & 71,2 \cdot {q_1} \cdot {q_2} \cdot {q_3} \cdot {q_4} \cdot {q_5} = 87,8\,\,\,\,\,\left| {:71,2} \right. \cr & \dfrac{{87,8}}{{71,2}} = {q_1} \cdot {q_2} \cdot {q_3} \cdot {q_4} \cdot {q_5} \cr} \)
Damit wir den zu interpretierenden Term nachbilden können, ziehen wir noch die 5. Wurzel
\(\eqalign{ & \frac{{87,8}}{{71,2}} = {q_1} \cdot {q_2} \cdot {q_3} \cdot {q_4} \cdot {q_5}\,\,\,\,\,\left| {\root 5 \of {} } \right. \cr & \root 5 \of {\dfrac{{87,8}}{{71,2}}} = \root 5 \of {{q_1} \cdot {q_2} \cdot {q_3} \cdot {q_4} \cdot {q_5}} \cr} \)
Es wäre wünschenswert, wenn wir nicht mit 5 unterschiedlichen Faktoren q1 … q5 rechnen müssten, sondern einen Faktor hätten, der über die insgesamt 5 Jahre das gleiche bewirken würde. Klingt nach Mittelwert, und ein Blick in die Formelsammlung liefert den geometrischen Mittelwert zu:
\({\overline x _{geom}} = \root n \of {{x_1} \cdot ... \cdot {x_n}} \)
Somit mit q=i+1:
\(\eqalign{ & \root 5 \of {\dfrac{{87,8}}{{71,2}}} = \root 5 \of {{q_1} \cdot {q_2} \cdot {q_3} \cdot {q_4} \cdot {q_5}\,} \cr & \root 5 \of {\dfrac{{87.8}}{{71.2}}} \approx 1,04280 = {\overline q _{geom}}\,\,\,\,\,\left| { - 1} \right. \cr & \root 5 \of {\dfrac{{87.8}}{{71.2}}} - 1 \approx 0,4280 = {\overline q _{gemo}} - 1 = i \cr & i \approx 4,3\% \cr} \)
→ Im Zeitraum von 2005 bis 2010 stiegen die Sozialausgaben um durchschnittlich 4,3% pro Jahr.
2. Teilaufgabe:
Bei exponentiellen Wachstumsmodellen (gemäß Exponentialfunktionen) kommt t in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, als Exponent (Hochzahl) vor. In (absolut) gleichgroßen Zeitschritten t, erfolgen relative (=prozentual) gleichgroße Änderungen des Funktionswerts N(t).
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} = {N_0} \cdot {e^{\lambda \cdot t}}{\text{ mit }}\lambda {\text{ = ln}}\left( a \right){\text{ und }}a > 1\)
Für das Jahr 2015 entnehmen der Angabe N0=102,5. Der Wachstumsfaktor a ergibt sich bei einem jährlichen Wachstum von 2,5% zu a=1,025
\(N\left( t \right) = 102,5 \cdot {1,025^t} = 102,5 \cdot {e^{0,025 \cdot t}}{\text{ mit }}\lambda {\text{ = ln}}\left( {1,025} \right) = 0,025\)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Im Zeitraum von 2005 bis 2010 stiegen die Sozialausgaben um durchschnittlich 4,3% pro Jahr.
2. Teilaufgabe
\(N\left( t \right) = 102,5 \cdot {1,025^t} = 102,5 \cdot {e^{0,025 \cdot t}}\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang (nur HAK)
2. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung