Aufgabe 1696
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wirkstoff
Die Abnahme der Menge des Wirkstoffs eines Medikaments im Blut lässt sich durch eine Exponentialfunktion modellieren. Nach einer Stunde sind 10 % der Anfangsmenge des Wirkstoffs abgebaut worden.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, welcher Prozentsatz der Anfangsmenge des Wirkstoffs nach insgesamt vier Stunden noch im Blut vorhanden ist!
____ % der Anfangsmenge
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wenn pro Stunde 10% vom Wirkstoff abgebaut werden, so bleiben nach einer Stunde 90% vom Wirkstoff im Blut erhalten. In der nächsten Stunde werden von diesen 90% wieder 10% abgebaut, es bleiben somit von den 90% wieder 90% also 81% vom Wirkstoff im Blut erhalten, usw.
Variante 1:
Wir können eine Zeitreihe wir folgt aufstellen
- t=0: 100% Wirkstoff im Blut: 1
- t=1: 90% Wirkstoff noch im Blut: \(1 \cdot 0,9 = 0,9 \buildrel \wedge \over = 90\% \)
- t=2: 90% von 90% Wirkstoff noch im Blut: \(0,9 \cdot 0,9 = 0,81 \buildrel \wedge \over = 81\% \)
- t=3: 90% von 81% Wirkstoff noch im Blut: \(0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 = 0,729 \buildrel \wedge \over = 72,9\% \)
- t=4: 90 von 72,9% Wirkstoff noch im Blut: \(0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 = 0,6561 \buildrel \wedge \over = 65,61\% \)
Variante 2:
Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis (die positiv und ungleich 1 ist ) und einem variablen Exponenten t. In diesem Beispiel ist die Basis 0,9 entsprechend 90%, auf die der Wert von der vorherigen Zeitperiode absinkt.
Allgemein formuliert:
\(\begin{array}{l}
f(t) = {0,9^t}\\
f\left( {t = 4} \right) = {0,9^4} = 0,6561
\end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
65,61 % der Anfangsmenge
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [65 %; 66 %]