Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden
Formel
Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x), wenn für alle \(x \in {D_f}\) wie folgt gilt: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Umgekehrt formuliert: Eine Funktion f(x) ist integrierbar, falls es eine „Stammfunktion“ gibt, sodass die Ableitung der Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergibt. Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. Eine integrierbare Funktion hat unendlich viele (entlang der y-Achse parallel verschobene) Stammfunktionen, die sich nur durch die „Integrationskonstante c“ unterscheiden.
Unbestimmtes Integral F(x)
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x) heißt das unbestimmte Integral F(x), C heißt Integrationskonstante. Sprich: „Integral f von x dx“. dx ist ein Operator, der anzeigt, nach welcher Variablen zu integrieren ist.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c{\text{ mit }}F' = f\)
Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so sind auch die Funktionen F(x)+C ebenfalls Stammfunktionen von f(x). Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante C. Die Graphen aller Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung längs der y-Achse ineinander über.
Bei der Integralrechnung sind die Begriffe Stammfunktion, Integrand, Integrationskonstante und Differential gebräuchlich.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + C\)
F(x) |
Stammfunktion von f(x) |
f(x) | Integrand, das ist die gegebene Funktion, zu der die Stammfunktion gebildet werden soll. f(x) ist die Ableitung von F(x) |
c | Integrationskonstante, verschiebt die Stammfunktionen entlang der y-Achse |
dx | Differential, besagt nach welcher Variablen integriert wird |
a | ist das niedrigste Argument bzw. die untere Grenze, welches die Variable x annimmt |
b | ist das höchste Argument bzw. die obere Greneze, welches die Variable x annimmt |
Zusammenhang Stammfunktion F(x), Funktion f(x) und Ableitungsfunktion f'(x)
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung
Integriert man die Funktion y=f(x) nach x, so erhält man deren Stammfunktion F(x). Differenziert man die Stammfunktion F(x) so erhält man wieder die Funktion y=f(x).
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,F'(x) = f(x)\)
Differenziert man die Funktion y=f(x) so erhält man deren 1. Ableitung y‘(x). Integriert man die 1. Ableitung y‘(x) so erhält man wieder y=f(x).
\(\int {y'\left( x \right)} \,\,dx = f\left( x \right) + c\)
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch der Fundamentalsatz der Analysis liefert
- den Zusammenhang zwischen der Differential- und der Integralrechnung
- besagt mit der Formel von Newton und Leibnitz wie das bestimmte Integral aus dem unbestimmten Integral hervorgeht.
- Wenn man die Funktion f(x) integriert, erhält man die Stammfunktion F(x) und wenn man die Stammfunktion F(x) differenziert, erhält man die Funktion f(x). Wenn die Funktion f(x) im Intervall [a,b] stetig ist, so ist ihre Stammfunktionfunktion F(x) an jeder Stelle x∈[a,b] differenzierbar und es gilt: F‘(x)=f(x).
\(F\left( x \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx}\)
- Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) kann berechnet werden, indem man die Differenz der oberen - und der unteren Grenze der Stammfunktion F(x) bildet. Man nennt diesen Zusammenhang die Formel von Newton und Leibnitz.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = \left. {\left[ {F\left( x \right)} \right]} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Geometrische Interpretation vom Integral
- Beim unbestimmten Integral erfolgt das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x). Die Stammfunktion F(x) gibt ganz allgemein die Gleichung für die Fläche zwischen der zugehörigen Funktion f(x) und der x-Achse an.
- Beim bestimmten Integral wird nicht nur die Gleichung der Fläche, sondern tatsächlich der Zahlenwert der Fläche bestimmt und zwar zwischen einer konkreten unteren und einer konkreten oberen Grenze.
Um Missverständnisse zu vermeiden: Beim bestimmten Integral wird "die Fläche" unter der Funktion bestimmt. Es muss sich dabei aber nicht unbedingt um eine Fläche im geometrischen Sinn von Länge mal Breite handeln. Wenn die Funktion etwa die den zeitlichen Verlauf einer Leistung P(t) entspricht, dann entspricht die "Fläche" unter der Funktion einer elektrischen Arbeit gemäß \(W = \int\limits_0^t {P\,\,dt} \) im Zeitraum 0 bis t
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Analysis | Wissenswertes über: Folgen, Reihen und Grenzwerte, Funktionen und Modelle, Differentialrechnung, Integralrechnung |
Aktuelle Lerneinheit
Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden | Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Mathematisches Modell | Ein mathematisches Modell beschreibt das Zusammenspiel von einzelnen Komponenten eines komplexen Systems (aus der Natur), mit den Mitteln der Mathematik. |
Numerische Integration | Die numerische Integration kommt dann zum Einsatz, wenn die Funktion von der die Stammfunktion aufgesucht werden soll, entweder nicht geschlossen vorliegt oder nicht analytisch integrierbar ist. |
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden | Die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt |
Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Änderungsmaße | Bei Größenvergleichen unterscheidet man zwischen dem Vergleich von absoluten, relativen bzw. prozentzellen Änderungen. |
Integro-Differentialgleichungen | Integro-Differentialgleichungen sind gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen, die zusätlich Integralterme beinhalten |
Zahlenreihen | Eine Reihe kann man sich als Summe mit unendlich vielen Summanden vorstellen. Diese Summanden ai sind dabei die Glieder einer zugehörigen Folge |
Zahlenfolgen | Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten. |
Vertiefe dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Bestimmtes Integral - Bogenlänge | Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Bogenlänge von einem Graphen zu berechnen, der durch eine Funktionsgleichung gegeben ist. |
Anwendungen der Integralrechnung | Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen. |
Zusammenhang Stammfunktion - Funktion - Ableitungsfunktion | Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen und Ihre Ableitungsfunktionen sowie die Stammfunktionen angeführt sind, darüber hinaus gibt es noch Integrationsregeln |
Integration spezieller Funktionen | Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen. |
Integrationsregeln | Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können. |
Auffinden gängiger Stammfunktionen | Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird |
Bestimmtes Integral - Rotationskörper | Die Mantelfläche einer Funktion f(x) bei Rotation um die x bzw. y Achse kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden |
Bestimmtes Integral - Schwerpunkt von Flächen | Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden. |
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt | Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar. |
Rechenregeln für bestimmte Integrale | Das bestimmte Integral der Funktion f(x) zwischen den Grenzen [a,b], entspricht grafisch der Fläche unter der Funktion und über der x-Achse, sowie zwischen der oberen und der unteren Intervallgrenze |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1170
AHS - 1_170 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stahlfeder
Um eine Stahlfeder aus der Ruhelage x0 = 0 um x cm zu dehnen, ist die Kraft F(x) erforderlich.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, was in diesem Kontext mit dem Ausdruck \(\int\limits_0^8 {F\left( x \right)} \) berechnet wird!
Aufgabe 1501
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral
Gegeben ist das bestimmte Integral \(I = \int\limits_0^a {\left( {25 \cdot {x^2} + 3} \right)} \,\,dx\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Aussage 1: \(25 \cdot \int\limits_0^a {{x^2}\,\,dx + \int\limits_0^a {3\,\,dx} }\)
- Aussage 2: \(\int\limits_0^a {25\,\,dx \cdot \int\limits_0^a {{x^2}\,\,dx} + \int\limits_0^a {3\,\,dx} } \)
- Aussage 3: \(\int\limits_0^a {25 \cdot {x^2}\,\,dx + 3} \)
- Aussage 4: \(\dfrac{{25 \cdot {a^3}}}{3} + 3 \cdot a\)
- Aussage 5: \(50 \cdot a\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, die für alle a > 0 denselben Wert wie I haben!
Aufgabe 1452
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wasserversorgung
Wasser fließt durch eine Wasserleitung, wobei v(t) die Geschwindigkeit des Wassers zum Zeitpunkt t ist. Die Geschwindigkeit v(t) wird in m/s, die Zeit t in s gemessen, der Inhalt der Querschnittsfläche Q des Rohres wird in m2 gemessen. Im nachstehenden Diagramm ist die Abhängigkeit der Geschwindigkeit v(t) von der Zeit t dargestellt.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welche Größe durch den Ausdruck \(Q \cdot \int\limits_{10}^{40} {v\left( t \right)} \,\,dt\) diesem Zusammenhang berechnet werden kann!
Aufgabe 1113
AHS - 1_113 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen über bestimmte Integrale
Die stetige reelle Funktion f mit dem abgebildeten Graphen hat Nullstellen bei \({x_1} = 1;\,\,\,\,\,{x_2} = 3;\,\,\,\,\,{x_3} = 6;\)
- Aussage 1: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,\,dx < 2} \)
- Aussage 2: \(\int\limits_1^6 {f\left( x \right)\,\,dx < 0}\)
- Aussage 3: \(\left| {\int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx} } \right| < 6\)
- Aussage 4: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,\,dx + \int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx > 0} } \)
- Aussage 5: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,\,dx > 0\) und \(\int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx < 0}\)
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen ist/sind zutreffend? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 1476
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral
Gegeben ist die Potenzfunktion f mit \(f\left( x \right) = {x^3}\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Bedingung für die Integrationsgrenzen b und c (b ≠ c) so an, dass \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)} \,\,dx = 0\) gilt!
Aufgabe 1428
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Durchflussrate
In einem Wasserrohr wird durch einen Sensor die Durchflussrate (= Durchflussmenge pro Zeiteinheit) gemessen. Die Funktion D ordnet jedem Zeitpunkt t die Durchflussrate D(t) zu. Dabei wird t in Minuten und D(t) in Litern pro Minute angegeben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Bedeutung der Zahl \(\int\limits_{60}^{120} {D\left( t \right)} \,\,dt\) im vorliegenden Kontext an!
Aufgabe 1166
AHS - 1_166 & Lehrstoff: AN 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erklärung des bestimmten Integrals
Der Begriff des bestimmten Integrals soll erklärt werden.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Textbausteine so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Ein bestimmtes Integral kann als _____1_____ einer/eines _______2_______ gedeutet werden.
1 | |
Summe | A |
Produkt | B |
Grenzwert | C |
2 | |
Grenzwertes von Summen | I |
Summe von Produkten | II |
Produktes von Grenzwerten | III |
Aufgabe 4031
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
Teil b
Nach Beginn einer körperlichen Belastung beim Sport (Arbeitsphase) passt sich das Atmungssystem nur verzögert dem erhöhten Sauerstoffbedarf an. Erst nach einigen Minuten wird eine ausreichende Versorgung erreicht. Bis dahin kommt es zu einem Sauerstoffdefizit.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie eine Formel auf, mit der man das Sauerstoffdefizit D die mit durchgängiger Begrenzung eingerahmte Fläche in obiger Skizze) berechnen kann, wenn eine Gleichung der Funktion s bekannt ist.
D =
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie die Einheit von D an.
[1 Punkt]
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Aufgabe 6001
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Graph und Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen
Gegeben sind die in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen f, g und h mit
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^2} - x + 1 \cr & g\left( x \right) = {x^3} - x + 1 \cr & h\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 1 \cr} \)
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
Die erste Ableitungsfunktion von h ist h‘.
3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie den Wert von \(\int\limits_0^1 {h'\left( x \right)\,\,dx} \).
Aufgabe 6020
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion
\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)
beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.
Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion
\(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)
stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.
3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\) verwenden.
4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
Aufgabe 4234
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Genfer See - Aufgabe A_222
Teil b
Der Genfer See wird durch mehrere Flüsse gespeist. Der Wasserstand des Sees wird beim Abfluss reguliert. Die nachstehende Grafik zeigt den Verlauf der Durchflussrate des Wassers beim Abfluss innerhalb von 48 Stunden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem Ausdruck \(\int\limits_0^{48} {f\left( t \right)} \,\,dt\) im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird.
[1 Punkt]
Die Funktion F ist eine Stammfunktion der in der obigen Grafik dargestellten Funktion f.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
- Aussage 1: F hat die Stelle mit dem größten Anstieg im Intervall [14; 18].
- Aussage 2: F hat eine Maximumstelle im Intervall [26; 30].
- Aussage 3: F ist monoton fallend im Intervall [32; 44].
- Aussage 4: F ist monoton steigend im Intervall [4; 26].
- Aussage 5: F ist im Intervall [0; 16] positiv gekrümmt (linksgekrümmt).
[1 Punkt]
Aufgabe 4201
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Baumhaus - Aufgabe A_116
Teil b
Die Fenster des Baumhauses sollen eine spezielle Form haben (siehe grau markierte Flache in der nachstehenden Abbildung).
Die obere Begrenzungslinie des Fensters kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden.
\(f\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,164 \cdot {x^2} - 2,25 \cdot x + 40{\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant 40\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Fensterfläche in der dargestellten Form kleiner als die Fensterfläche eines quadratischen Fensters mit der Seitenlange 40 cm ist.
[2 Punkte]
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