Mathematisches Modell

Mathematisches Modell

Ein mathematisches Modell beschreibt das Zusammenspiel von einzelnen Komponenten eines komplexen Systems (aus der Natur), mit den Mitteln der Mathematik.

Zweck der Modellbildung (Regelungstechnik)

Das Modell ist dabei eine vereinfachte Darstellung des komplexen Systems. Bei der Modellbildung darf nur soweit vereinfacht werden, solange das Modell das System hinreichend genau repräsentiert.

Vorgehen bei der Modellbildung (Regelungstechnik)

Bei der Modellbildung klärt man zunächst ab, welche Größen und welche Zusammenhänge zur Beschreibung des komplexen Originalsystems überhaupt relevant sind. Zur Abbildung in ein mathematisches Modell beschreibt man die Zusammenhänge zwischen den Zustandsgrößen durch Gleichungen

Black Box (Regelungstechnik)

Um vom komplexen System (aus der Natur) zu einem Modell zu kommen, betrachtet man das komplexe System wie eine Black Box. Eine Black Box ist ein Objekt, von dem zunächst nur das Verhalten über definierte äußere Schnittstellen bekannt ist. Man hat also kein Wissen darüber, wie das Innere der Black Box aufgebaut ist.

Um ein Modell über das unbekannte Innere der Black Box und somit ein Modell für das komplexe System aufstellen zu können, verändert man gezielt den Input, also die Eingangsgrößen und beobachtet wie sich der Output, also die Ausgangsgrößen verändern und versucht dafür eine mathematische Funktion aufzustellen.

Durch Parametervariation prüft man, ob die Ausgangsgrößen des realen komplexen Systems genauso den veränderten Parametern der Eingangsgrößen folgen, wie dies der Output der Black Box bei entsprechenden Veränderungen des Inputs macht.

1. Schritt der Modellbildung

Zunächst werden nur die Ein- bzw. Ausgangsgrößen untersucht:
\(Input \to \boxed{BlackBox} \to Output\)

2. Schritt der Modellbildung

Dann wird versucht, die innere unbekannte Struktur zu modellieren:
\({\text{unabhängige Größe}} \to \boxed{Modell} \to {\text{abhängige Größe}}\)

Unabhängige Größe im Regelkreis

Unter der unabhängigen Größe, auch Stellgröße, im Sinne der Regelungstechnik, verstehen wir den erwünschten Wert am Ausgang vom Regelkreis. Aus dem Sollwert und dem vom Regelkreis-Ausgang rückgeführten Istwert wird durch Vergleich die Regelwertabweichung gebildet, die dem Regler mit der Absicht zugeführt wird, Übereinstimmung zwischen der Stellgröße und dem Istwert der Regelgröße herzustellen.

Abhängige Größe im Regelkreis

Unter der abhängigen Größe, auch Regelgröße, im Sinne der Regelungstechnik, verstehen wir das Ausgangssignal vom Regelkreis.

3. Schritt der Modellbildung

Letztlich versucht man einen mathematischen Zusammenhang zwischen der Änderung der Ausgangsgröße in Abhängigkeit von einer Änderung der Eingangsgröße herzustellen.
\(x \in {D_f} \to \boxed{y = f\left( x \right)} \to y \in {W_f}\)

Dabei unterscheidet man zwischen diskreten und kontinuierlichen Modellen.

Diskretes Modell (Ausdruck für Quantisierbarkeit)

In diskreten Modellen ändert sich der Anfangswert um ein bestimmtes Quantum oder ein ganzzahliges Vielfaches davon. Dieses Quantum hat dabei einen bestimmten Mindestwert. Dieser Mindestwert kann nicht beliebig klein werden, sondern es handelt sich um eine bestimmte Menge oder eine bestimmte Anzahl. Einen Zwischenwert (etwa die Hälfte) von diesem Mindestwert gibt es nicht.

Beispiele:

• Geldmünzen: Die kleinste Einheit die man mit Bargeld bezahlen kann ist 1 Cent. Einen halben Cent als Zwischenwert gibt es (als Bargeld) nicht
• Quantenphysik und das Standardmodell der Elementarteilchen sind Teilgebiete der Physik, die sich der Quantisierung widmen , dort gibt es Energie nur in bestimmten nicht weiter teilbaren Mengen

Kontinuierliches Modell (Ausdruck für Kontinuität)

In kontinuierlichen Modellen ändert sich der Anfangswert stetig. Änderungen (Zu- oder Abnahme) können beliebig klein sein. Zum Zeitpunkt t beträgt er y_t = y(t). Differentialgleichungen eignen sich zur Beschreibung von kontinuierlichen Systemen.

Beispiel:
Die Gleichung einer Geraden. Für jedes (unabhängige) x gibt es ein (abhängiges) y=f(x).

Simulation zur Überprüfung des Modells

In der Simulation stellt man zuerst fest, wie sich die Ausgangsgrößen des Modells in Abhängigkeit von den Eingangsgrößen verhalten.​ Man analysiert das mathematische Modell hinsichtlich der Existenz und deren Eindeutigkeit von Lösungen. Im Falle von Abweichungen des Modellverhaltens während der Simulation vom Verhalten des realen komplexen Systems, sucht man nach Modellfehlern bzw. nach Datenfehlern.