Aufgabe 1113
AHS - 1_113 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen über bestimmte Integrale
Die stetige reelle Funktion f mit dem abgebildeten Graphen hat Nullstellen bei \({x_1} = 1;\,\,\,\,\,{x_2} = 3;\,\,\,\,\,{x_3} = 6;\)
- Aussage 1: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,\,dx < 2} \)
- Aussage 2: \(\int\limits_1^6 {f\left( x \right)\,\,dx < 0}\)
- Aussage 3: \(\left| {\int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx} } \right| < 6\)
- Aussage 4: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,\,dx + \int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx > 0} } \)
- Aussage 5: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,\,dx > 0\) und \(\int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx < 0}\)
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen ist/sind zutreffend? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
Wir veranschaulichen die Aufgabenstellung wir folgt:
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil wir an Hand vom Koordinatengitter abschätzen können, dass die Fläche der Funktion im Intervall von 1 .. 3 sicher kleiner als 2 ist.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil wir an Hand vom Koordinatengitte abschätzen können, dass die rechte Fläche, die unterhalb der x-Achse - und daher negativ ist - größer ist, als die linke Fläche, die oberhalb der x-Achse liegt und positiv ist. Der negative Flächenanteil überwiegt also.
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil wir an Hand vom Koordinatengitter abschätzen können, dass der Betrag der Fläche der Funktion im Intervall von 3 .. 6 sicher kleiner als 6 ist.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil das 2. Integral einen negativen Flächeninhalt hat, der größer als der positive Flächeninhalt vom 1. Integral ist. Der negative Flächenanteil überwiegt also, daher ist das ">" Zeichen falsch.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil die Fläche vom 1. Integral über der x-Achse liegt und daher positiv ist und die Fläche vom 2. Integral unter der x-Achse liegt, und daher negativ ist.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die vier zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.