Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden
Formel
Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x), wenn für alle \(x \in {D_f}\) wie folgt gilt: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Umgekehrt formuliert: Eine Funktion f(x) ist integrierbar, falls es eine „Stammfunktion“ gibt, sodass die Ableitung der Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergibt. Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. Eine integrierbare Funktion hat unendlich viele (entlang der y-Achse parallel verschobene) Stammfunktionen, die sich nur durch die „Integrationskonstante c“ unterscheiden.
Unbestimmtes Integral F(x)
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x) heißt das unbestimmte Integral F(x), C heißt Integrationskonstante. Sprich: „Integral f von x dx“. dx ist ein Operator, der anzeigt, nach welcher Variablen zu integrieren ist.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c{\text{ mit }}F' = f\)
Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so sind auch die Funktionen F(x)+C ebenfalls Stammfunktionen von f(x). Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante C. Die Graphen aller Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung längs der y-Achse ineinander über.
Bei der Integralrechnung sind die Begriffe Stammfunktion, Integrand, Integrationskonstante und Differential gebräuchlich.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + C\)
F(x) |
Stammfunktion von f(x) |
f(x) | Integrand, das ist die gegebene Funktion, zu der die Stammfunktion gebildet werden soll. f(x) ist die Ableitung von F(x) |
c | Integrationskonstante, verschiebt die Stammfunktionen entlang der y-Achse |
dx | Differential, besagt nach welcher Variablen integriert wird |
a | ist das niedrigste Argument bzw. die untere Grenze, welches die Variable x annimmt |
b | ist das höchste Argument bzw. die obere Greneze, welches die Variable x annimmt |
Zusammenhang Stammfunktion F(x), Funktion f(x) und Ableitungsfunktion f'(x)
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung
Integriert man die Funktion y=f(x) nach x, so erhält man deren Stammfunktion F(x). Differenziert man die Stammfunktion F(x) so erhält man wieder die Funktion y=f(x).
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,F'(x) = f(x)\)
Differenziert man die Funktion y=f(x) so erhält man deren 1. Ableitung y‘(x). Integriert man die 1. Ableitung y‘(x) so erhält man wieder y=f(x).
\(\int {y'\left( x \right)} \,\,dx = f\left( x \right) + c\)
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch der Fundamentalsatz der Analysis liefert
- den Zusammenhang zwischen der Differential- und der Integralrechnung
- besagt mit der Formel von Newton und Leibnitz wie das bestimmte Integral aus dem unbestimmten Integral hervorgeht.
- Wenn man die Funktion f(x) integriert, erhält man die Stammfunktion F(x) und wenn man die Stammfunktion F(x) differenziert, erhält man die Funktion f(x). Wenn die Funktion f(x) im Intervall [a,b] stetig ist, so ist ihre Stammfunktionfunktion F(x) an jeder Stelle x∈[a,b] differenzierbar und es gilt: F‘(x)=f(x).
\(F\left( x \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx}\)
- Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) kann berechnet werden, indem man die Differenz der oberen - und der unteren Grenze der Stammfunktion F(x) bildet. Man nennt diesen Zusammenhang die Formel von Newton und Leibnitz.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = \left. {\left[ {F\left( x \right)} \right]} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Geometrische Interpretation vom Integral
- Beim unbestimmten Integral erfolgt das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x). Die Stammfunktion F(x) gibt ganz allgemein die Gleichung für die Fläche zwischen der zugehörigen Funktion f(x) und der x-Achse an.
- Beim bestimmten Integral wird nicht nur die Gleichung der Fläche, sondern tatsächlich der Zahlenwert der Fläche bestimmt und zwar zwischen einer konkreten unteren und einer konkreten oberen Grenze.
Um Missverständnisse zu vermeiden: Beim bestimmten Integral wird "die Fläche" unter der Funktion bestimmt. Es muss sich dabei aber nicht unbedingt um eine Fläche im geometrischen Sinn von Länge mal Breite handeln. Wenn die Funktion etwa die den zeitlichen Verlauf einer Leistung P(t) entspricht, dann entspricht die "Fläche" unter der Funktion einer elektrischen Arbeit gemäß \(W = \int\limits_0^t {P\,\,dt} \) im Zeitraum 0 bis t
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Analysis | Wissenswertes über: Folgen, Reihen und Grenzwerte, Funktionen und Modelle, Differentialrechnung, Integralrechnung |
Aktuelle Lerneinheit
Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden | Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Mathematisches Modell | Ein mathematisches Modell beschreibt das Zusammenspiel von einzelnen Komponenten eines komplexen Systems (aus der Natur), mit den Mitteln der Mathematik. |
Numerische Integration | Die numerische Integration kommt dann zum Einsatz, wenn die Funktion von der die Stammfunktion aufgesucht werden soll, entweder nicht geschlossen vorliegt oder nicht analytisch integrierbar ist. |
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden | Die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt |
Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Änderungsmaße | Bei Größenvergleichen unterscheidet man zwischen dem Vergleich von absoluten, relativen bzw. prozentzellen Änderungen. |
Integro-Differentialgleichungen | Integro-Differentialgleichungen sind gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen, die zusätlich Integralterme beinhalten |
Zahlenreihen | Eine Reihe kann man sich als Summe mit unendlich vielen Summanden vorstellen. Diese Summanden ai sind dabei die Glieder einer zugehörigen Folge |
Zahlenfolgen | Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten. |
Vertiefe dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Bestimmtes Integral - Bogenlänge | Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Bogenlänge von einem Graphen zu berechnen, der durch eine Funktionsgleichung gegeben ist. |
Anwendungen der Integralrechnung | Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen. |
Zusammenhang Stammfunktion - Funktion - Ableitungsfunktion | Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen und Ihre Ableitungsfunktionen sowie die Stammfunktionen angeführt sind, darüber hinaus gibt es noch Integrationsregeln |
Integration spezieller Funktionen | Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen. |
Integrationsregeln | Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können. |
Auffinden gängiger Stammfunktionen | Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird |
Bestimmtes Integral - Rotationskörper | Die Mantelfläche einer Funktion f(x) bei Rotation um die x bzw. y Achse kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden |
Bestimmtes Integral - Schwerpunkt von Flächen | Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden. |
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt | Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar. |
Rechenregeln für bestimmte Integrale | Das bestimmte Integral der Funktion f(x) zwischen den Grenzen [a,b], entspricht grafisch der Fläche unter der Funktion und über der x-Achse, sowie zwischen der oberen und der unteren Intervallgrenze |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1845
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmtes Integral
Die Funktion F ist eine Stammfunktion der Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der in jedem Fall mit \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\) übereinstimmt.
- Ausdruck 1: \(\dfrac{{F\left( 5 \right) - F\left( 2 \right)}}{{5 - 2}}\)
- Ausdruck 2: \(\dfrac{{F\left( 5 \right) - F\left( 2 \right)}}{{F\left( 2 \right)}}\)
- Ausdruck 3: \(F\left( 5 \right) - F\left( 2 \right)\)
- Ausdruck 4: \(F\left( 5 \right) + F\left( 2 \right)\)
- Ausdruck 5: \(\dfrac{{F\left( 2 \right) + F\left( 5 \right)}}{2}\)
- Ausdruck 6: \(\dfrac{{F\left( 5 \right)}}{{F\left( 2 \right)}}\)
[1 aus 6]
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4316
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ganzkörperhyperthermie - Aufgabe A_158
Bei einem Therapieverfahren wird die Körpertemperatur bewusst stark erhöht (künstliches Fieber). Die Funktion f beschreibt den Zusammenhang zwischen Zeit und Körpertemperatur:
\(f\left( t \right) = - 0,18 \cdot {t^3} + 0,85 \cdot {t^2} + 0,6 \cdot t + 36,6\)
- t ... Zeit in Stunden (h) mit 0 ≤ t ≤ 5
- f(t) ... Körpertemperatur zur Zeit t in °C
Teil d
Die mittlere Körpertemperatur f während der 5 Stunden andauernden Behandlung soll ermittelt werden. Die mittlere Körpertemperatur in einem Zeitintervall [t1; t2] ist:
\(\overline f = \dfrac{1}{{{t_2} - {t_1}}} \cdot \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {f\left( t \right)} \,\,dt\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur f im Intervall [0; 5].
[1 Punkt]
Aufgabe 1870
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benzinverbrauch bei der Fahrt auf einer Landstraße
Maria fährt mit ihrem Auto auf einer Landstraße eine Strecke von 10 km. Die Funktion b gibt den momentanen Benzinverbrauch b(s) (in L/km) in Abhängigkeit von der zurückgelegten
Strecke s (in km) seit Beginn der Fahrt an (siehe nachstehende Abbildung).
Der Ausdruck V hat die Einheit L/km und wird mithilfe der nachstehenden Formel berechnet.
\(V = \dfrac{1}{{10}} \cdot \int\limits_0^{10} {b\left( s \right)} \,\,ds\)
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie V im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 1032
AHS - 1_032 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Es gilt die Aussage: „Besitzt eine Funktion f eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl c auch die durch G(x) = F(x) + c definierte Funktion G eine Stammfunktion von f.“ (Quelle: Wikipedia)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Ist die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f, dann gilt ______1______ . Gilt zudem _____2_____ , dann ist auch die Funktion G eine Stammfunktion von f.
1 | |
\(F\left( x \right) = f\left( x \right)\) | A |
\(F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | B |
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) | C |
2 | |
\(G'\left( x \right) = F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) | I |
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | II |
\(G'\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | III |
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Aufgabe 1381
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionsgleichungen
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = 3 \cdot {x^2} + 2\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Funktionsgleichungen von zwei verschiedenen Funktionen F1 und F2 an, deren Ableitungsfunktion die Funktion f ist!
F1(x) =
F2(x) =
Aufgabe 1035
AHS - 1_035 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleiche Ableitungsfunktionen
In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Funktion g dargestellt.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im vorgegebenen Koordinatensystem den Graphen einer Funktion f (f ≠ g) ein, die die gleiche Ableitungsfunktion wie die Funktion g hat!
Aufgabe 1038
AHS - 1_038 & Lehrstoff: AN 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Unbestimmtes Integral
Gegeben sind Aussagen über die Lösung eines unbestimmten Integrals. Nur eine Rechnung ist richtig. Die Integrationskonstante wird in allen Fällen mit c = 0 angenommen.
- Aussage 1: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = {{\left( {6x + 5} \right)}^2}} \)
- Aussage 2: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = 3{x^2} + 5x}\)
- Aussage 3: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = {{\left( {6x + 15} \right)}^2}} \)
- Aussage 4: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = 3 \cdot \left( {{x^2} + 5x} \right)} \)
- Aussage 5: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = 3{x^2} + 15} \)
- Aussage 6: \(\int {3 \cdot \left( {2x + 5} \right)\,\,dx = 6{x^2} + 15x}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die korrekte Rechnung an!
Aufgabe 1167
AHS - 1_167 & Lehrstoff: AN 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral berechnen
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie \(\int {\left( {a \cdot {h^3} + {a^2}} \right)} \,\,dh\)
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Aufgabe 1032
AHS - 1_032 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Es gilt die Aussage: „Besitzt eine Funktion f eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl c auch die durch G(x) = F(x) + c definierte Funktion G eine Stammfunktion von f.“ (Quelle: Wikipedia)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Ist die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f, dann gilt ______1______ . Gilt zudem _____2_____ , dann ist auch die Funktion G eine Stammfunktion von f.
1 | |
\(F\left( x \right) = f\left( x \right)\) | A |
\(F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | B |
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) | C |
2 | |
\(G'\left( x \right) = F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) | I |
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | II |
\(G'\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | III |
Aufgabe 1035
AHS - 1_035 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleiche Ableitungsfunktionen
In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Funktion g dargestellt.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im vorgegebenen Koordinatensystem den Graphen einer Funktion f (f ≠ g) ein, die die gleiche Ableitungsfunktion wie die Funktion g hat!
Aufgabe 1797
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Gegeben ist eine Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto f\left( x \right)\)
Die Funktion
\(g:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto g\left( x \right)\)ist eine Stammfunktion von f.
Für eine Funktion
\(h:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto h\left( x \right){\text{ und }}c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) gilt
\(h\left( x \right) = g\left( x \right) + c\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob h ebenfalls eine Stammfunktion von f ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 4342
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutdruck - Aufgabe B_448
Teil a
Durch die Einnahme eines Medikaments zur Regulierung des Blutdrucks gelangen Wirkstoffe ins Blut. Die Wirkstoffmenge im Blut kann näherungsweise durch eine Funktion m beschrieben werden, deren 1. Ableitung bekannt ist:
\(m'\left( t \right) = 1,2 \cdot {e^{ - 0,04 \cdot t}} - 0,1{\text{ mit t}} \geqslant {\text{0}}\)
t | Zeit in min |
m'(t) |
momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut zur Zeit t in mg/min |
Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Wirkstoffmenge im Blut 10 mg.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion m.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Wirkstoff vollständig abgebaut ist.
[1 Punkt]
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Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!