Aufgabe 1452
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wasserversorgung
Wasser fließt durch eine Wasserleitung, wobei v(t) die Geschwindigkeit des Wassers zum Zeitpunkt t ist. Die Geschwindigkeit v(t) wird in m/s, die Zeit t in s gemessen, der Inhalt der Querschnittsfläche Q des Rohres wird in m2 gemessen. Im nachstehenden Diagramm ist die Abhängigkeit der Geschwindigkeit v(t) von der Zeit t dargestellt.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welche Größe durch den Ausdruck \(Q \cdot \int\limits_{10}^{40} {v\left( t \right)} \,\,dt\) diesem Zusammenhang berechnet werden kann!
Lösungsweg
\(\int\limits_b^a {v(t)dt}\) beschreibt die Fläche die zwischen der Funktion v(t) und der Zeitachse t in dem Intervall [a;b] eingeschlossen wird. In unserem Fall beträgt das Zeitintervall [10; 40] Sekunden, dauert also 30 Sekunden. Q ist die Querschnittsfläche des Rohres
Denkhilfe:
- Man kann sich die Fläche als Rechteck mit der Länge „Zeit“ und der Breite „Geschwindigkeit“ vorstellen. Die Fläche (das Produkt der beiden Seiten) beschreibt dann den zurückgelegten Weg (Länge mal Breite bzw. Zeit mal Geschwindigkeit).
- Wir können nun den vom Wasser zurückgelegten Weg \(\int\limits_{10}^{40} {v\left( t \right)} \,\,dt\) als Höhe \(h = \int\limits_{10}^{40} {v\left( t \right)} \,\,dt\) eines Rohres interpretieren.
- Somit verbleibt der Ausdruck \(Q \cdot \int\limits_{10}^{40} {v\left( t \right)} \,\,dt = Q \cdot h\)
- Nachdem Q die Querschnittsfläche (Grundfläche) des Rohres ist, können wir diesen Ausdruck auch als Grundfläche mal Höhe, also als Volumen eines Zylinders interpretieren.
- Dieser Zylinder spiegelt nun jene Wassermenge wieder, die in dem Zeitraum von 10 bis 40 Sekunden durch die Wasserleitung gelaufen ist.
Der Ausdruck gibt die Wassermenge (in m3) an, die vom Zeitpunkt t = 10 bis zum Zeitpunkt t = 40 durch die Leitung fließt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Ausdruck gibt die Wassermenge (in m3) an, die vom Zeitpunkt t = 10 bis zum Zeitpunkt t = 40 durch die Leitung fließt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation des Ausdrucks.