Aufgabe 4234

1. Teilaufgabe

Die Funktion f(t) selbst gibt an, wie viele m³ Wasser pro Stunde beim Abfluss vom See abrinnen. Beim Intergral denken wir immer an das "aufsummieren von unendlich schmalen parallelen Flächenstreifen".

• Die Fläche unterm Graph der Funktion ist somit die Summe Wasser in m³/h (y-Achse), die beim Abfluss abrinnt, die sich in den 48 Stunden (die x-Achse ist ja eine Zeitachse) aufsummiert.
• Für die Einheit gilt: Es handelt sich um eine Fläche, die in y-Richtung m³/h als Einheit und in x-Richtung h als Einheit hat. Bildet man das Produkt \(h \cdot \dfrac{{{m^3}}}{h} = {m^3}\) so bleiben m³ als Einheit über.

→ Mit dem Ausdruck wird die gesamte Wassermenge in m³ berechnet, die innerhalb dieser 48 Stunden den See durch den Abfluss verlassen hat.

Kochrezept: Die "Einheit" für die Fläche unter der Funktion kann man immer ohne viel Nachzudenken einfach durch Multiplikation ausrechnen:
"x-Achse mal y-Achse". Wenn man diese Einheit kennt, dann kann man die Bedeutung vom Integral einfach beantworten.

2. Teilaufgabe

F ist die Stammfunktion der in der Grafik dargestellten Funktion f. Am einfachsten fällt die Beantwortung der Aussagen wenn man die Stammfunktion in die Illustration der gegebenene Funktion hinzuzeichnet.

• Die Stammfunktion muss bei Null anfangen und monoton steigen.
• Die Stammfunktion wird gegen ihren Wendepunkt hin immer stärker ansteigen und nach dem Wendepunkt wird sich die Steigung wieder verflachen,
• Der Wendepunkt liegt dort wo die gegebene Funktion f ihr Maximum hat.

• Aussage 1: Falsch, weil die Stammfunktion hat ihren größten Anstieg dort, wo die Stammfunktion den Wendepunkt hat. Den Wendepunkt hat die Stammfunktion dort, wo die zugehörige Funktion eine Extremstelle hat. Die Funktion hat aber im Intervall [14; 18] keine Extremstelle, sonder erst an der Stelle t=30,5.
   
• Aussage 2: Falsch, weil wir aus der NEW-Regel wissen, dass dort wo die Funktion eine Extremstelle hat, muss ihre Stammfunktion eine Wendestelle haben. Weiters wissen wir aus der NEW-Regel, dass dort wo die Funktion eine Nullstelle hat, muss die Stammfunktion eine Extremstelle haben. Die Funktion hat aber keine NST im dargestellten Intervall, daher kann die Stammfunktion im Intervall auch kein Maximum haben.
   
• Aussage 3: Falsch, weil wir aus den Regeln für das grafische Differenzieren wissen, dass wenn die Funktion oberhalb der x-Achse liegt, muss die Stammfunktion streng monoton steigen
   
• Aussage 4: Richtig, weil wir aus den Regeln für das grafische Differenzieren wissen, dass wenn die Funktion oberhalb der x-Achse liegt muss die Stammfunktion streng monoton steigen. Man kann sogar für das gesamte Intervall [0; 48] sagen, dass F monoton steigend sein muss.
   
• Aussage 5: Falsch, weil die Funktion in diesem Intervall einen Extremwert hat, daher muss die Stammfunktion in diesem Intervall einen Wendepunkt haben und somit das Krümmungsverhalten ändern