Aufgabe 1476
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral
Gegeben ist die Potenzfunktion f mit \(f\left( x \right) = {x^3}\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Bedingung für die Integrationsgrenzen b und c (b ≠ c) so an, dass \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)} \,\,dx = 0\) gilt!
Lösungsweg
Ein bestimmtes Integral entspricht dem Flächeninhalt derjenigen Fläche,
- die von der Funktion f(x) selbst,
- links von der unteren Grenze,
- rechts von der oberen Grenze
- oben bzw. unten von der x-Achse eingeschlossen wird.
Der Flächeninhalt unterhalb der x-Achse wird negativ gezählt, der Flächeninhalt oberhalb von der x-Achse wird positiv gezählt. Sind die Flächen unter und oberhalb der x-Achse gleich groß, so heben sie sich auf, dh der Summenflächeninhalt ist Null.
Wenn b=c wäre, dann würde die obere und die untere Integrationsgrenze zusammen fallen und die eingeschlossene Fläche wäre Null. Diese Triviallösung ist aber lt. Angabe ausgeschlossen. Nachfolgend eine Skizze der Potenzfunktion 3. Grades mit \(f\left( x \right) = {x^3}\)
Zeichnen wir einmal willkürlich eine untere Integrationsgrenze „b“ ein, etwa bei x=-5. Nun betrachten wir die Fläche die zwischen der x-Achse, dem Graph der Funktion und der unteren Grenze eingeschlossen ist. Diese Fläche ist „negativ“ - weil sie vollständig unter der x-Achse liegt.
Wir suchen nun die obere Integrationsgrenze so, dass eine gleich große positive Fläche zwischen der x-Achse, dem Graph der Funktion und der oberen Grenze eingeschlossen wird, um den negativen Flächeninhalt auf null zu kompensieren. Dazu muss die obere Grenze spiegelverkehrt gleich weit von der y-Achse entfernt sein wie die untere Grenze. Im Beispiel also bei x=+5
Somit lautet der gesuchte Zusammenhang b=-c oder c=-b
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
b=-c oder c=-b
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe einer korrekten Relation zwischen b und c. Äquivalente Relationen sind als richtig zu werten, ebenso konkrete Beispiele wie b = –5 und c = 5.