Anwendungen der Integralrechnung

Anwendungen der Integralrechnung

Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen.

• Figuren, die durch Gerade oder Kreise begrenzt werden
  Für geometrische Figuren wie Dreiecke, Vielecke oder Kreise gibt es feste Formeln für die Berechnung von Umfang oder Fläche. Auch für die Oberfläche oder das Volumen von geometrischen Körpern wie Quader, Zylinder, Pyramide oder Kugel gibt es feste Formeln.
• Figuren, die durch eine Funktion begrenzt werden
  Bei Flächen, die von krummlinigen Kurven, also durch Funktionen f(x) begrenzt werden, kann man die Fläche leider nicht so einfach wie beim Rechteck, mit „Länge mal Breite“ berechnen. Durch die Integralrechnung wird die Berechnung von Bogenlängen, Flächen oder Volumina von Figuren und Körpern ermöglicht, deren Begrenzungslinien allgemeine Funktionen f(x) sind.

Illustration: links die Fläche unter der Funktion f(x)=x² rechts daneben die zusammengesetzte geometrische Figur bestehend aus einem Rechteck und einem Dreieck

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Produktsumme zur näherungsweisen Berechnung von Flächen

Man zerlegt geometrisch die von den Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen. Summiert man die einzelnen Flächen als das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt.

Praktisch kann man die Streifen nach verschiedenen Kriterien auswählen: Als „Obersumme“ , als „Untersumme“, als „Mittelsumme“, als "Linkssumme“ oder als „Rechtssumme“ oder als "Trapezsumme".

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Eingrenzung der exakten Fläche durch „Untersumme“ und „Obersumme“

Teilt man das Intervall \(\left[ {a;b} \right]\) in n Teile der gleichen Breite \(\Delta x = {{b - a} \over n}\), so erhält man die Untersumme als die Summe aller Rechteckstreifen unterhalb der Kurve und die Obersumme als die Summe aller Rechteckstreifen oberhalb der Kurve. Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) genau zwischen Ober- und Untersumme.

\({U_n} = \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + ... + f\left( {{x_{n - 1}}} \right)} \right] \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \left[ {f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + ... + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cdot \Delta x\)

für \(n \to \infty\)

\({U_n} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x} }\)

Obersumme

Bei der Obersumme wählt man den größten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.

Untersumme

Bei der Untersumme wählt man den niedersten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.

Wenn der Grenzwert der Untersummen gleich groß ist wie der Grenzwert der Obersummen aller Rechteckstreifen, dann ist dieser Grenzwert zugleich der Wert des bestimmten Integrals.

\({U_n} = {O_n} = \int\limits_a^b {f\left( {x\,\,dx} \right)} = A\)

Exakte Fläche durch Integration

Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.

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Eingrenzung der exakten Fläche durch „Linkssumme“, Mittelsumme" und „Rechtssumme“

Bei Funktionen deren Monotonie sich ändert (steigend, fallend) verwendet man statt der Ober- und Untersummen die Links- und die Rechtssummen.

Linkssumme

Bei der Linkssumme liegt für jedes Teilintervall der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.

Mittelsumme

Bei der Mittelsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der Halbierungspunkt der oberen Seite des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.

Rechtssumme

Bei der Rechtssumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte ober Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.

Exakte Fläche durch Integration

Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.

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Annäherung der exakten Fläche durch "Trapezsumme"

Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts. Bei der Trapezsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte und der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion. Da die Punkte, (außer im Bereich eines konstanten Verlaufs) unterschiedlich hoch liegen, wird die Fläche unter der Funktion durch ein Trapez sehr genau angenähert.

Trapezsumme mit 6 Trapezen

Trapezsumme mit 12 Trapezen

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Riemann Summe

Zerlegt man die von einer Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen und summiert man das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt. Macht man die Rechteckstreifen immer schmäler - also tendenziell unendlich schmal - so nähert sich die Summe der Flächeninhalte beliebig genau dem tatsächlichen Flächeninhalt an. Man nennt dies die Riemann Summe.

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Zusammenhang zwischen der Riemann-Summe und dem bestimmten Integral

Ist f(x) eine stetige Funktion im Intervall \(\left[ {a;b} \right]\), dann ist das bestimmte Integral \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\) gleich dem Grenzwert („Limes“) der Riemann-Summe für

• unendlich viele (\(n \to \infty \)) und gleichbedeutend mit
• unendlich schmalen x_i Rechteckstreifen.

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx = \mathop {\lim }\limits_{\Delta {x_i} \to 0} } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i}\)

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Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral

Die Integrationsgrenzen geben an, für welches Intervall einer stetigen Funktion die Fläche berechnet werden soll. Die linke und die rechte Grenze vom Intervall, also die Werte „a“ und „b“ nennt man die Integrationsgrenzen, weil „…von „a“ nach „b“ integriert wird…“

Vertauscht man die Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral, so wechselt das Vorzeichen
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,\,dx\)

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Unterschied bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beim bestimmten Integral sind die Integrationsgrenzen angegeben beim unbestimmten Integral hingegen nicht.

• Beim bestimmten Integral erhält man als Resultat einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalischer Einheit), der der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „a“ und der oberen Grenze „b“ entspricht. 
  ​\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

• Beim unbestimmten Integral erhält man als Resultat die, bis auf die additive „Integrationskonstante c“ eindeutige Stammfunktion F(x). Es gibt also zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen, deren Graph durch die Wahl von „c“ lediglich entlang der y-Achse (nach oben oder unten) parallel verschoben wird.
   \(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\)

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Zusammenhang Stammfunktion und bestimmtes Integral

Setzt man in die Stammfunktion für die obere und die untere Grenze konkrete Werte ein, dann erhält man als Resultat das bestimmte Integral. Es ist als Differenz „obere minus untere Grenze“ ein konkreten Zahlenwert, der wiederum der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „x=a“ und der oberen Grenze „x=b“ entspricht.

\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

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Geometrische Erklärung für das bestimmte Integral

Das bestimmte Integral ist ein dimensionsloser Zahlenwert, der der Fläche entspricht, die

• oben oder unten vom Graphen f(x)
• unten oder oben von der x-Achse
• links von der „unteren“ Grenze, gemäß der Geraden x=a
• rechts von der „oberen Grenze, gemäß der Geraden x=b

begrenzt wird.

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Unterschied zwischen Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion

Flächeninhaltsfunktion

Die Flächeninhaltsfunktion F(b) ist das bestimmte Integral mit fester unterer Grenze "a" aber variabler oberer Grenze "b". Die Fläche A=F(b) ist also eine Funktion der oberen Grenze „b“.

\(F\left( b \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)

Stammfunktion

Die Stammfunktion F(x) ist jene Funktion, deren Ableitung die Funktion f(x) ergibt.

\(F'(x) = f(x)\)

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Orientierte Fläche

Das bestimmte Integral liefert eine „orientierte Fläche“. D.h.: Bei der Ermittlung der Fläche gehen jene Teilflächen die unter der x-Achse liegen mit einem negativen Vorzeichen in den Flächeninhalt ein und jene Teilflächen die oberhalb der x-Achse liegen gehen mit positiven Vorzeichen ein.

• Das bestimmte Integral ist nur für Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, gleich dem Flächeninhalt unter dem Graphen und über der x-Achse. Bedenke: Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, haben keine Nullstellen, allenfalls haben sie die x-Achse als Tangente an einen Wendepunkt für den y=0 gilt.
• Bei Funktionen die negativ werden, gehen Flächen oberhalb der x-Achse positiv in die Summe ein. Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in die Summe ein. Man spricht hier von negativ orientierten Flächen.

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Bedeutung vom Differential dx

Das sogenannte „Differential“ z.B.: „dx“ gibt an, über welche Variable - bei „dx“ nach der „x“-Variablen - integriert werden soll. Würde das Differential "dt" lauten, so würde nach der "t"-Variablen abgeleitet werden. Kommen noch andere Variablen vor, so werden diese so behandelt, als wären sie keine Variablen sondern Konstante!

Im nachfolgendem Beispiel ist „x“ die Variable und „t“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(x), F(x) und dx
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 2x + 2t \cr & F\left( x \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dx} = \int {2x\,\,dx} + \int {2t\,\,dx} = 2{{{x^2}} \over 2} + 2t \cdot x + c = {x^2} + 2tx + c \cr}\)

Im nachfolgendem Beispiel ist „t“ die Variable und „x“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(t), F(t) und dt
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = 2x + 2t \cr & F\left( t \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dt} = \int {2x\,\,dt} + \int {2t\,\,dt} = 2x \cdot t + 2{{{t^2}} \over 2} + c = 2xt + {t^2} + c \cr} \)

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Mehrfach Integrale - wenn über mehr als eine Variable integriert wird

Beim einfachsten Mehrfach-Integral, dem „Doppelintegral“ etwa wird zuerst das „innere Integral“ gemäß dem „inneren Differential“ mit variablen Grenzen und dann das „äußere Integral“ gemäß dem „äußeren Differential“ mit konstanten Integrationsgrenzen berechnet. Als Resultat erhält man einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalische Einheit), der dem Rauminhalt eines zylindrischen Körpers entspricht, welcher über der Fläche A liegt und den zur z-Achse parallelen Mantellinien begrenzt wird.

\(\int\limits_A^{} {f\left( {x,y} \right)\,\,dA = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)\,\,dy} } \right)} } \,\,dx = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)} } \,\,dy\,\,dx\)

Am Beispiel eines unbestimmten Integrals:

1. Es wird zuerst nach "x" und dann nach "t" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dx + \int {2t\,\,dx} } } \right]} \,\,dt = \cr & = \int {\left[ {{x^2} + 2tx} \right]} \,\,dt = \int {{x^2}\,\,dt} + \int {2tx\,\,dt} = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)

2. Es wird zuerst nach "t" und dann nach "x" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dt + \int {2t\,\,dt} } } \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \cr & = \int {\left[ {2xt + {t^2}} \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \int {2xt\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } + \int {{t^2}\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)