Anwendungen der Integralrechnung
Formel
Anwendungen der Integralrechnung
Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen.
- Figuren, die durch Gerade oder Kreise begrenzt werden
Für geometrische Figuren wie Dreiecke, Vielecke oder Kreise gibt es feste Formeln für die Berechnung von Umfang oder Fläche. Auch für die Oberfläche oder das Volumen von geometrischen Körpern wie Quader, Zylinder, Pyramide oder Kugel gibt es feste Formeln. - Figuren, die durch eine Funktion begrenzt werden
Bei Flächen, die von krummlinigen Kurven, also durch Funktionen f(x) begrenzt werden, kann man die Fläche leider nicht so einfach wie beim Rechteck, mit „Länge mal Breite“ berechnen. Durch die Integralrechnung wird die Berechnung von Bogenlängen, Flächen oder Volumina von Figuren und Körpern ermöglicht, deren Begrenzungslinien allgemeine Funktionen f(x) sind.
Illustration: links die Fläche unter der Funktion f(x)=x² rechts daneben die zusammengesetzte geometrische Figur bestehend aus einem Rechteck und einem Dreieck
Produktsumme zur näherungsweisen Berechnung von Flächen
Man zerlegt geometrisch die von den Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen. Summiert man die einzelnen Flächen als das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt.
Praktisch kann man die Streifen nach verschiedenen Kriterien auswählen: Als „Obersumme“ , als „Untersumme“, als „Mittelsumme“, als "Linkssumme“ oder als „Rechtssumme“ oder als "Trapezsumme".
Eingrenzung der exakten Fläche durch „Untersumme“ und „Obersumme“
Teilt man das Intervall \(\left[ {a;b} \right]\) in n Teile der gleichen Breite \(\Delta x = {{b - a} \over n}\), so erhält man die Untersumme als die Summe aller Rechteckstreifen unterhalb der Kurve und die Obersumme als die Summe aller Rechteckstreifen oberhalb der Kurve. Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) genau zwischen Ober- und Untersumme.
\({U_n} = \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + ... + f\left( {{x_{n - 1}}} \right)} \right] \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \left[ {f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + ... + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cdot \Delta x\)
für \(n \to \infty\)
\({U_n} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x} }\)
Obersumme
Bei der Obersumme wählt man den größten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.
Untersumme
Bei der Untersumme wählt man den niedersten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.
Wenn der Grenzwert der Untersummen gleich groß ist wie der Grenzwert der Obersummen aller Rechteckstreifen, dann ist dieser Grenzwert zugleich der Wert des bestimmten Integrals.
\({U_n} = {O_n} = \int\limits_a^b {f\left( {x\,\,dx} \right)} = A\)
Exakte Fläche durch Integration
Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.
Eingrenzung der exakten Fläche durch „Linkssumme“, Mittelsumme" und „Rechtssumme“
Bei Funktionen deren Monotonie sich ändert (steigend, fallend) verwendet man statt der Ober- und Untersummen die Links- und die Rechtssummen.
Linkssumme
Bei der Linkssumme liegt für jedes Teilintervall der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Mittelsumme
Bei der Mittelsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der Halbierungspunkt der oberen Seite des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Rechtssumme
Bei der Rechtssumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte ober Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Exakte Fläche durch Integration
Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.
Annäherung der exakten Fläche durch "Trapezsumme"
Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts. Bei der Trapezsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte und der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion. Da die Punkte, (außer im Bereich eines konstanten Verlaufs) unterschiedlich hoch liegen, wird die Fläche unter der Funktion durch ein Trapez sehr genau angenähert.
Trapezsumme mit 6 Trapezen
Trapezsumme mit 12 Trapezen
Riemann Summe
Zerlegt man die von einer Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen und summiert man das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt. Macht man die Rechteckstreifen immer schmäler - also tendenziell unendlich schmal - so nähert sich die Summe der Flächeninhalte beliebig genau dem tatsächlichen Flächeninhalt an. Man nennt dies die Riemann Summe.
Zusammenhang zwischen der Riemann-Summe und dem bestimmten Integral
Ist f(x) eine stetige Funktion im Intervall \(\left[ {a;b} \right]\), dann ist das bestimmte Integral \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\) gleich dem Grenzwert („Limes“) der Riemann-Summe für
- unendlich viele (\(n \to \infty \)) und gleichbedeutend mit
- unendlich schmalen xi Rechteckstreifen.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx = \mathop {\lim }\limits_{\Delta {x_i} \to 0} } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i}\)
Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral
Die Integrationsgrenzen geben an, für welches Intervall einer stetigen Funktion die Fläche berechnet werden soll. Die linke und die rechte Grenze vom Intervall, also die Werte „a“ und „b“ nennt man die Integrationsgrenzen, weil „…von „a“ nach „b“ integriert wird…“
Vertauscht man die Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral, so wechselt das Vorzeichen
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Unterschied bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beim bestimmten Integral sind die Integrationsgrenzen angegeben beim unbestimmten Integral hingegen nicht.
- Beim bestimmten Integral erhält man als Resultat einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalischer Einheit), der der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „a“ und der oberen Grenze „b“ entspricht.
\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
- Beim unbestimmten Integral erhält man als Resultat die, bis auf die additive „Integrationskonstante c“ eindeutige Stammfunktion F(x). Es gibt also zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen, deren Graph durch die Wahl von „c“ lediglich entlang der y-Achse (nach oben oder unten) parallel verschoben wird.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\)
Zusammenhang Stammfunktion und bestimmtes Integral
Setzt man in die Stammfunktion für die obere und die untere Grenze konkrete Werte ein, dann erhält man als Resultat das bestimmte Integral. Es ist als Differenz „obere minus untere Grenze“ ein konkreten Zahlenwert, der wiederum der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „x=a“ und der oberen Grenze „x=b“ entspricht.
\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Geometrische Erklärung für das bestimmte Integral
Das bestimmte Integral ist ein dimensionsloser Zahlenwert, der der Fläche entspricht, die
- oben oder unten vom Graphen f(x)
- unten oder oben von der x-Achse
- links von der „unteren“ Grenze, gemäß der Geraden x=a
- rechts von der „oberen Grenze, gemäß der Geraden x=b
begrenzt wird.
Unterschied zwischen Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion
Flächeninhaltsfunktion
Die Flächeninhaltsfunktion F(b) ist das bestimmte Integral mit fester unterer Grenze "a" aber variabler oberer Grenze "b". Die Fläche A=F(b) ist also eine Funktion der oberen Grenze „b“.
\(F\left( b \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Stammfunktion
Die Stammfunktion F(x) ist jene Funktion, deren Ableitung die Funktion f(x) ergibt.
\(F'(x) = f(x)\)
Orientierte Fläche
Das bestimmte Integral liefert eine „orientierte Fläche“. D.h.: Bei der Ermittlung der Fläche gehen jene Teilflächen die unter der x-Achse liegen mit einem negativen Vorzeichen in den Flächeninhalt ein und jene Teilflächen die oberhalb der x-Achse liegen gehen mit positiven Vorzeichen ein.
- Das bestimmte Integral ist nur für Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, gleich dem Flächeninhalt unter dem Graphen und über der x-Achse. Bedenke: Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, haben keine Nullstellen, allenfalls haben sie die x-Achse als Tangente an einen Wendepunkt für den y=0 gilt.
- Bei Funktionen die negativ werden, gehen Flächen oberhalb der x-Achse positiv in die Summe ein. Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in die Summe ein. Man spricht hier von negativ orientierten Flächen.
Bedeutung vom Differential dx
Das sogenannte „Differential“ z.B.: „dx“ gibt an, über welche Variable - bei „dx“ nach der „x“-Variablen - integriert werden soll. Würde das Differential "dt" lauten, so würde nach der "t"-Variablen abgeleitet werden. Kommen noch andere Variablen vor, so werden diese so behandelt, als wären sie keine Variablen sondern Konstante!
Im nachfolgendem Beispiel ist „x“ die Variable und „t“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(x), F(x) und dx
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 2x + 2t \cr & F\left( x \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dx} = \int {2x\,\,dx} + \int {2t\,\,dx} = 2{{{x^2}} \over 2} + 2t \cdot x + c = {x^2} + 2tx + c \cr}\)
Im nachfolgendem Beispiel ist „t“ die Variable und „x“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(t), F(t) und dt
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = 2x + 2t \cr & F\left( t \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dt} = \int {2x\,\,dt} + \int {2t\,\,dt} = 2x \cdot t + 2{{{t^2}} \over 2} + c = 2xt + {t^2} + c \cr} \)
Mehrfach Integrale - wenn über mehr als eine Variable integriert wird
Beim einfachsten Mehrfach-Integral, dem „Doppelintegral“ etwa wird zuerst das „innere Integral“ gemäß dem „inneren Differential“ mit variablen Grenzen und dann das „äußere Integral“ gemäß dem „äußeren Differential“ mit konstanten Integrationsgrenzen berechnet. Als Resultat erhält man einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalische Einheit), der dem Rauminhalt eines zylindrischen Körpers entspricht, welcher über der Fläche A liegt und den zur z-Achse parallelen Mantellinien begrenzt wird.
\(\int\limits_A^{} {f\left( {x,y} \right)\,\,dA = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)\,\,dy} } \right)} } \,\,dx = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)} } \,\,dy\,\,dx\)
Am Beispiel eines unbestimmten Integrals:
1. Es wird zuerst nach "x" und dann nach "t" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dx + \int {2t\,\,dx} } } \right]} \,\,dt = \cr & = \int {\left[ {{x^2} + 2tx} \right]} \,\,dt = \int {{x^2}\,\,dt} + \int {2tx\,\,dt} = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)
2. Es wird zuerst nach "t" und dann nach "x" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dt + \int {2t\,\,dt} } } \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \cr & = \int {\left[ {2xt + {t^2}} \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \int {2xt\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } + \int {{t^2}\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden | Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. |
Aktuelle Lerneinheit
Anwendungen der Integralrechnung | Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Bestimmtes Integral - Bogenlänge | Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Bogenlänge von einem Graphen zu berechnen, der durch eine Funktionsgleichung gegeben ist. |
Zusammenhang Stammfunktion - Funktion - Ableitungsfunktion | Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen und Ihre Ableitungsfunktionen sowie die Stammfunktionen angeführt sind, darüber hinaus gibt es noch Integrationsregeln |
Integration spezieller Funktionen | Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen. |
Integrationsregeln | Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können. |
Auffinden gängiger Stammfunktionen | Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird |
Bestimmtes Integral - Rotationskörper | Die Mantelfläche einer Funktion f(x) bei Rotation um die x bzw. y Achse kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden |
Bestimmtes Integral - Schwerpunkt von Flächen | Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden. |
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt | Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar. |
Rechenregeln für bestimmte Integrale | Das bestimmte Integral der Funktion f(x) zwischen den Grenzen [a,b], entspricht grafisch der Fläche unter der Funktion und über der x-Achse, sowie zwischen der oberen und der unteren Intervallgrenze |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1453
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}}\)
- Aussage 1: \(F\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}} + \dfrac{1}{2}\)
- Aussage 2: \(F\left( x \right) = 2 \cdot {e^{2 \cdot x}} - 1\)
- Aussage 3: \(F\left( x \right) = 2 \cdot {e^{2 \cdot x}}\)
- Aussage 4: \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2 \cdot x}}}}{2} + \dfrac{1}{2}\)
- Aussage 5: \(F\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}}\)
- Aussage 6: \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2 \cdot x}}}}{2}\)
Aufgabenstellung:
Welche von den oben durch ihre Funktionsgleichungen angegebenen Funktionen F ist Stammfunktion von f und verlauft durch den Punkt P = (0|1)? Kreuzen Sie die zutreffende Antwort an!
Aufgabe 1171
AHS - 1_171 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktionen erkennen
Gegeben sind die Funktionen f und g und die Konstante \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
Es gilt der Zusammenhang \(g'\left( x \right) = f\left( x \right)\)
- Aussage 1: f ist eine Stammfunktion von g.
- Aussage 2: g ist eine Stammfunktion von f.
- Aussage 3: g − a ist eine Stammfunktion von f.
- Aussage 4: f + a ist eine Stammfunktion von g.
- Aussage 5: a · g ist eine Stammfunktion von f.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1030
AHS - 1_030 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen zum Integral
Nachstehend werden Aussagen zu Funktionen und deren Stammfunktionen angeführt.
- Aussage 1: Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
- Aussage 2: Die Stammfunktion einer Summe von zwei Funktionen f und g ist (abgesehen von Integrationskonstanten) gleich der Summe der Stammfunktionen von f und g
- Aussage 3: f ist immer eine Stammfunktion von f'.
- Aussage 4: Wenn \(\dfrac{{dF\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right)\), dann ist F eine Stammfunktion von f.
- Aussage 5: Für beliebige Funktionen f und g gilt: \(\int {\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \int {f\left( x \right)} \,\,dx \cdot \int {g\left( x \right)} \,\,dx\)
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1527
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungs- und Stammfunktion
Es sei f eine Polynomfunktion und F eine ihrer Stammfunktionen.
- Aussage 1: Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f, wenn gilt: \(f(x) = F(x) + c\,\,(c \in {\Bbb R})\).
- Aussage 2: Eine Funktion f′ heißt Ableitungsfunktion von f, wenn gilt: \(\int {f(x)dx} = f'(x)\).
- Aussage 3: Wenn die Funktion f an der Stelle x0 definiert ist, gibt \(f'({x_0})\) die Steigung der Tangente an den Graphen von f an dieser Stelle an.
- Aussage 4: Die Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden.
- Aussage:5: Wenn man die Stammfunktion F einmal integriert, dann erhält man die Funktion f.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
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Aufgabe 1032
AHS - 1_032 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Es gilt die Aussage: „Besitzt eine Funktion f eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl c auch die durch G(x) = F(x) + c definierte Funktion G eine Stammfunktion von f.“ (Quelle: Wikipedia)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Ist die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f, dann gilt ______1______ . Gilt zudem _____2_____ , dann ist auch die Funktion G eine Stammfunktion von f.
1 | |
\(F\left( x \right) = f\left( x \right)\) | A |
\(F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | B |
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) | C |
2 | |
\(G'\left( x \right) = F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) | I |
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | II |
\(G'\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | III |
Aufgabe 1431
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion einer konstanten Funktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer konstanten Funktion f dargestellt.
Aufgabenstellung
Der Graph einer Stammfunktion F von f verläuft durch den Punkt P = (1|1). Zeichnen Sie den Graphen der Stammfunktion F im nachstehenden Koordinatensystem ein!
Aufgabe 1381
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionsgleichungen
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = 3 \cdot {x^2} + 2\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Funktionsgleichungen von zwei verschiedenen Funktionen F1 und F2 an, deren Ableitungsfunktion die Funktion f ist!
F1(x) =
F2(x) =
Aufgabe 1008
AHS - 1_008 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktion und Stammfunktion
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f in die Abbildung ein!
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Aufgabe 1797
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Gegeben ist eine Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto f\left( x \right)\)
Die Funktion
\(g:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto g\left( x \right)\)ist eine Stammfunktion von f.
Für eine Funktion
\(h:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto h\left( x \right){\text{ und }}c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) gilt
\(h\left( x \right) = g\left( x \right) + c\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob h ebenfalls eine Stammfunktion von f ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 1652
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften von Stammfunktionen
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer linearen Funktion g dargestellt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für die Funktion g zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: Jede Stammfunktion von g ist eine Polynomfunktion zweiten Grades.
- Aussage 2: Jede Stammfunktion von g hat an der Stelle x = –2 ein lokales Minimum.
- Aussage 3: Jede Stammfunktion von g ist im Intervall (0; 2) streng monoton fallend.
- Aussage 4: Die Funktion G mit G(x) = –0,5 ist eine Stammfunktion von g.
- Aussage 5: Jede Stammfunktion von g hat mindestens eine Nullstelle.
Aufgabe 1868
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktion und Stammfunktion
Die Polynomfunktion f hat die Ableitungsfunktion f‘ und die Stammfunktion F.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: Der Ausdruck F(a) gibt die Steigung von f an der Stelle a für alle a ∈ ℝ an.
- Aussage 2: Die Stammfunktion F ist eindeutig bestimmt. Es gibt somit keine weitere Stammfunktion von f.
- Aussage 3: Die Ableitungsfunktion f‘ ist eindeutig bestimmt. Es gibt somit keine weitere Ableitungsfunktion von f.
- Aussage 4: Der Ausdruck F‘(0) gibt die Steigung der Funktion f an der Stelle 0 an.
- Aussage 5: Es gilt: F‘(a) = f(a) für alle a ∈ ℝ.
Aufgabe 4082
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flussläufe und Pegelstände -Aufgabe A_266
Teil b
Auf einem annähernd geradlinig verlaufenden Abschnitt eines Flusses soll das Flussbett verbreitert und vertieft werden. In der nachstehenden Abbildung ist das Flussbett im Querschnitt dargestellt.
mit
f | Profillinie des ursprünglichen Flussbetts |
h | Profillinie des neuen Flussbetts |
f und h sind Polynomfunktionen 2. Grades mit zur y-Achse symmetrischen Graphen.
Ein Teilstuck des Flussbetts mit der Lange L (in m) wird ausgebaggert.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem folgenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird:
\(2 \cdot \left| {\int\limits_0^{17,5} {h\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_0^{15} {f\left( x \right)\,\,dx} } } \right| \cdot L\)
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Gleichung der Funktion h.
[1 Punkt]
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