Aufgabe 4201
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Baumhaus - Aufgabe A_116
Teil b
Die Fenster des Baumhauses sollen eine spezielle Form haben (siehe grau markierte Flache in der nachstehenden Abbildung).
Die obere Begrenzungslinie des Fensters kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden.
\(f\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,164 \cdot {x^2} - 2,25 \cdot x + 40{\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant 40\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Fensterfläche in der dargestellten Form kleiner als die Fensterfläche eines quadratischen Fensters mit der Seitenlange 40 cm ist.
[2 Punkte]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir berechnen zuerst die beiden Flächen:
\(\eqalign{ & {A_{{\text{Quadrat}}}} = {40^2} = 1600 \cr & {A_{f(x)}} = \int\limits_0^{40} {f\left( x \right)} \,\,dx = \cr & = \int\limits_0^{40} {\left( { - 0,003 \cdot {x^3} + 0,164 \cdot {x^2} - 2,25 \cdot x + 40} \right)} \,\,dx \approx \cr & \approx 1378,67 \cr} \)
Die Lösung erfolgte dabei mittels Technologieeinsatz mit Wolfram Alpha:
Integrate[(-0.003x^(3)+0.164x^(2)-2.25x+40),0,40]
Die prozentuale Änderung entspricht dem Quotienten aus der absoluten Änderung und dem Grundwert, multipliziert mit 100%.
\(\eqalign{ & \dfrac{{{A_{f(x)}} - {A_{{\text{Quadrat}}}}}}{{{A_{{\text{Quadrat}}}}}} \cdot 100\% \approx \cr & \approx \dfrac{{1378,67 - 1600}}{{1600}} \cdot 100\% \approx \cr & \approx - 13,83\% \cr} \)
→ Die Fensterfläche ist um rund 13,8 % kleiner als die Fensterfläche eines quadratischen Fensters mit der Seitenlange 40 cm.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Fensterfläche ist um rund 13,8 % kleiner als die Fensterfläche eines quadratischen Fensters mit der Seitenlänge 40 cm.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: für den richtigen Ansatz (Berechnung des Flächeninhalts mittels Integral)
1 × B: für die richtige Berechnung des prozentualen Unterschieds