Aufgabe 4591
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Grazbach – Aufgabe B_561
Der Kroisbach und der Leonhardbach sind Bäche in Graz, die nach ihrem Zusammenfluss den Grazbach bilden.
Teil c
In der nachstehenden Abbildung ist ein Abschnitt des Kanals des Grazbachs in einem Vermessungsplan modellhaft dargestellt.
Abbildung fehlt
Ein Vermesser modelliert die Begrenzungslinien des Kanals im Intervall [–150; 15] mit den Graphen der Funktionen f und g.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der in der obigen Abbildung grau markierten Fläche auf.
A =
[0 / 1 P.]
Für die Polynomfunktion 4. Grades f gilt:
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2}\)
Der Graph von f hat den Tiefpunkt T = (–92,2 | –17,6) und schneidet die x-Achse an der Stelle x = –133,5.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.
[0 / 1 / 2 P.]
Die Funktion g ist ebenfalls eine Polynomfunktion 4. Grades.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die auf die Funktion g im Intervall [–150; 15] zutrifft.
[1 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: g hat genau 2 Nullstellen.
- Aussage 2: g ändert genau 1-mal das Monotonieverhalten.
- Aussage 3: g hat nur negative Funktionswerte.
- Aussage 4: g hat genau 1 lokale Extremstelle.
- Aussage 5: g ändert genau 1-mal das Krümmungsverhalten.
Lösungsweg
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(A = \int\limits_{ - 150}^{15} {\left( {f\left( x \right) - g\left( s \right)} \right)} \,\,dx\)
2. Teilaufgabe
\(\begin{array}{l} 1:f\left( { - 92,2} \right) = - 17,6\\ 2:f\left( { - 133,5} \right) = 0\\ 3:f'\left( { - 92,2} \right) = 0\\ \\ 1:a \cdot {\left( { - 92,2} \right)^4} + b \cdot {\left( { - 92,2} \right)^3} + c \cdot {\left( { - 92,2} \right)^2} = - 17,7\\ 2:a \cdot {\left( { - 133,5} \right)^4} + b \cdot {\left( { - 133,5} \right)^3} + c \cdot {\left( { - 133,5} \right)^2} = 0\\ 3:4 \cdot a \cdot {\left( { - 92,2} \right)^3} + 3 \cdot b \cdot {\left( { - 92,2} \right)^2} + 2 \cdot c \cdot \left( { - 92,2} \right) = 0 \end{array}\)
3. Teilaufgabe
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
2. Teilaufgabe
- Ein Punkt für das richtige Aufstellen der beiden Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte.
- Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.