Aufgabe 5678
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gartensauna – Aufgabe A_328
Teil c
In der unten stehenden Abbildung ist der Querschnitt einer Gartensauna dargestellt. Die obere Begrenzungslinie des Daches wird durch den Graphen der Funktion h beschrieben.
\(\eqalign{ & h\left( x \right) = - 0,0207 \cdot {x^4} + 0,265 \cdot {x^3} - 1,14 \cdot {x^2} + 1,8 \cdot x + 1,54 \cr & {\text{mit }}0 \leqslant x \leqslant 6,2 \cr} \)
- x ... horizontale Entfernung vom linken Dachrand in m
- h(x) ... Höhe über dem waagrechten Boden an der Stelle x in m
An der Stelle xp gilt:
\(h'\left( {{x_P}} \right) = 0{\text{ und }}h''\left( {{x_P}} \right) > 0\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Stelle xP.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die Angabe liefert 2 Hinweise auf die gesuchte Stelle xP:
- Da die 1. Ableitung der Funktion h(x) an der Stelle xP gleich null ist, muss die Tangente an den Graph der Funktion waagrecht verlaufen
-
Wegen h''(xP) > 0 handelt es sich bei xP um eine lokale Minimumstelle.
Die gegebene Funktion ist vom 4. Grad, daher muss die 1. Ableitung eine Funktion vom 3. Grad sein und 3 Lösungen besitzen
\(\eqalign{ & h\left( x \right) = - 0,0207 \cdot {x^4} + 0,265 \cdot {x^3} - 1,14 \cdot {x^2} + 1,8 \cdot x + 1,54 \cr & \cr & h'\left( x \right) = - 0,0207 \cdot 4 \cdot {x^3} + 0,265 \cdot 3 \cdot {x^2} - 1,14 \cdot 2 \cdot x + 1,8 \cr & h'\left( x \right) = - 0,0828 \cdot {x^3} + 0,795 \cdot {x^2} - 2,28 \cdot x + 1,8 \cr & \cr & h'\left( x \right) = 0 \cr & - 0,0828 \cdot {x^3} + 0,795 \cdot {x^2} - 2,28 \cdot x + 1,8 = 0 \cr} \)
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
Wolfram Alpha: -0.0828x^(3)+0.795x^(2)-2.28x+1.8=0 liefert
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} \approx {\rm{ }}1,296}\\ {{x_2} \approx {\rm{ }}3,464}\\ {{x_3} \approx {\rm{ }}4,841} \end{array}\)
Wegen h ״(xP) > 0 handelt es sich bei xP um eine lokale Minimumstelle. Aus der Abbildung ist daher ersichtlich: xP = x2 = 3,464..
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
xP = x2 = 3,464..
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Stelle xP.