Aufgabe 5614
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sandfang einer Kläranlage – Aufgabe B_555
In einer Kläranlage strömt das Abwasser langsam durch den sogenannten Sandfang. Dabei sinken Sand und kleine Steine auf den Boden und können somit abgeschieden werden (siehe untenstehende Abbildung).
Illustration fehlt
Teil c
Die Sinkgeschwindigkeit eines Steinchens in einer Flüssigkeit kann modellhaft durch die nachstehende Differenzialgleichung beschrieben werden.
\(\dfrac{{dv}}{{dt}} = g - k \cdot v\)
- v(t) ≥ 0 ... Sinkgeschwindigkeit
- g, k ... positive Konstanten
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[0 / 1 P.]
Die Sinkgeschwindigkeit des Steinchens nähert sich dabei dem Wert vE.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie vE an.
vE =
[0 / 1 P.]
Die Eigenschaften der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v und der zugehörigen Beschleunigung-Zeit-Funktion a hängen unter anderem von der Anfangsbedingung ab.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Anfangsbedingungen jeweils die zutreffende Aussage aus A bis D
zu.
[0 / 1 P.]
- Anfangsbedingung 1: \(v\left( 0 \right) = 0\)
- Anfangsbedingung 2: \(v\left( 0 \right) = \dfrac{{2 \cdot g}}{k}\)
- Aussage A: v und a sind streng monoton steigend.
- Aussage B: v ist streng monoton steigend und a ist streng monoton fallend.
- Aussage C: v und a sind streng monoton fallend.
- Aussage D: v ist streng monoton fallend und a ist streng monoton steigend.
Lösungsweg
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(v\left( t \right) = \pm C \cdot {e^{ - k \cdot t}} + \dfrac{g}{k}\)
2. Teilaufgabe
\({v_E} = \dfrac{g}{k}\)
3. Teilaufgabe
- Zur Anfangsbedingung 1 gehört die Aussage B.
- Zur Anfangsbedingung 2 gehört die Aussage D.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der allgemeinen Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Angeben von vE.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Zuordnen.