Wissenswertes über: Folgen, Reihen und Grenzwerte, Funktionen und Modelle, Differentialrechnung, Integralrechnung
Bestimmtes Integral - Rotationskörper
Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Mantelfläche und das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen, die durch die Rotation einer Funktion um eine Koordinatenachse entstehen.
Bestimmtes Integral - Mantelfläche eines Rotationskörpers
Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann beträgt die Mantelfläche des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht Mx, bzw. sei die Mantelfläche bei Rotation der Funktion um die y-Achse My.
Bei Rotation um die x-Achse:
\({M_x} = 2\pi \int\limits_{x = a}^b {f\left( x \right) \cdot \sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \,\,dx = } 2\pi \int\limits_{x = a}^b {y \cdot \sqrt {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \,\,dx}\)
Bei Rotation um die y-Achse:
\({M_y} = 2\pi \int\limits_{\min \left[ {f\left( a \right),f\left( b \right)} \right]}^{\max \left[ {f\left( 1 \right),f\left( b \right)} \right]} {x \cdot \sqrt {1 + {{\left( {x'} \right)}^2}} \,\,dy}\)
Bestimmtes Integral - Volumen eines Rotationskörpers
Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht Vx, bzw. das Volumen bei Rotation der Funktion um die y-Achse sei Vy.
Bei Rotation um die x-Achse:
\({V_x} = \pi \int\limits_{x = a}^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\,\,dx = \pi \int\limits_a^b {{y^2}\,\,dx} }\)
Bei Rotation um die y-Achse:
\({V_y} = \pi \int\limits_{y = c}^d {{{\left[ {x \left( y \right)} \right]}^2}\,\,dy}\)
Anmerkung: Da Funktionen üblicher Weise als y=f(x) gegeben sind, muss man in diesen Fällen die Funktionsgleichung so umformen, dass x2 explizit wird.