Nullwachstum

Wachstum

Unter Wachstum versteht man den Anstieg einer Messgröße im Verlauf der Zeit.

• Positivwachstum: Zunahme
• Negativwachstum: Abnahme, Zerfall oder Schrumpfung
• Nullwachstum: über den Zeitverlauf hinweg bleibt die Messgröße konstant

Wir unterscheiden folgende Wachstumsmodelle

• Lineare Wachstumsmodelle
• Exponentielle Wachstumsmodelle
• Beschränkte exponentielle Wachstumsmodelle
• Logistische Wachstumsmodelle

Lineare Wachstumsmodelle

Bei linearen Wachstumsmodellen kommt t in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, nur in der 1. Potenz vor. In gleichen Zeitschritten, erfolgen gleiche absolute Änderungen. Die Wachstumsrate ist konstant. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle

\(f\left( t \right) = kt + d\)

Diskretes lineares Wachstumsmodell

Beim diskreten linearen Wachstumsmodell bleibt die absolute Änderung pro Schritt konstant.

\(\Delta {y_n} = {\text{k wobei: k}} \in {\Bbb R}\)

• Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\)
• Explizite Form: \({y_n} = {y_0} + n \cdot k\)

Kontinuierliches lineares Wachstumsmodell

Beim kontinuierlichen linearen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate konstant und unabhängig von jeweils aktuellen Wert.

\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k{\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} + k \cdot t \cr}\)

Exponentielle Wachstumsmodelle

Bei exponentiellen Wachstumsmodellen (gemäß Exponentialfunktionen) kommt t in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, als Exponent (Hochzahl) vor. In (absolut) gleichgroßen Zeitschritten t, erfolgen relative (=prozentual) gleichgroße Änderungen des Funktionswerts N(t). Charakteristisch ist die am Anfang langsame, dann zunehmend schneller werdende Zunahme, die letztlich explosionsartig schnell wird (Kettenprozesse). Unbegrenzt exponentielles Wachstum kann es in der Natur nicht geben. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle

• exponentielles Wachstum:
  \(N(t) = {N_0} \cdot {e^{\lambda \cdot t}} = {N_0} \cdot {b^t}{\text{ mit }}\lambda {\text{ = ln}}\left( b \right)\)
   
• exponentielle Abnahme:
  \(N(t) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)

mit

• N₀ .. Startwert oder Anfangsbestand
• b ... Wachstumsfaktor

• \(\lambda > 0\)

Diskretes exponentielles Wachstumsmodell

Beim diskreten exponentiellen Wachstumsmodell ist die relative Änderung pro Schritt konstant. Die Wachstumsrate ist proportional zum Bestand.

\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = k{\text{ wobei: }}k \in {\Bbb R}\)

• Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = \left( {1 + k} \right) \cdot {y_n}\)
• Explizite Form: \({y_n} = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^n}\)

Kontinuierlich exponentielles Wachstumsmodell

Beim kontinuierlichen exponentiellen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate proportional zum jeweils aktuellen Wert.

\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k \cdot y\left( t \right){\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^t} \cr}\)

Beschränkte exponentielle Wachstumsmodelle

Bei beschränkten Wachstumsmodellen gibt es einen das Wachstum beschränkenden Wert S, wodurch das Wachstum nach oben oder nach unten beschränkt wird. Es handelt sich um ein sogenanntes Sättigungsmodell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze. Charakteristisch ist die Anfangs explosionsartig, dann zunehmend langsamer werdende Zunahme, die letztlich völlig abklingt und einer endlichen Obergrenze zustrebt. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle

• beschränktes exponentielles Wachstum:
  \(N\left( t \right) = S - a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)
• beschränktes exponentielle Abnahme:
  \(N\left( t \right) = S + a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)

mit:

• S ... Sättigungswert
• a=|S-N₀|

Kontinuierlich beschränktes Wachstumsmodell

Beim kontinuierlich beschränkten Wachstumsmodell (z.B.: gemäß Logarithmusfunktionen) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes alle Zwischenwerte auftreten

\(f\left( x \right) = S - \left( {S - k} \right){e^{ - cx}}\)

Als Maß für die Steigung dient die 1. Ableitung
\(f'\left( x \right) = c \cdot \left( {S - f\left( x \right)} \right)\)

wobei: k=f(0)

Diskret beschränktes Wachstumsmodell

Beim diskreten beschränkten Wachstumsmodell (z.B. Verkaufte Stückzahl von einem Produkt) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes nur eine endliche Anzahl an diskreten Zwischenwerten auftreten.

mit S als Sättigungswert:
\(\Delta {y_n} = k \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)

• Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\left( {S - {y_n}} \right)\)
• Explizite Form: \({y_n} = S - \left( {S - {y_0}} \right) \cdot {\left( {1 - k} \right)^n}\)

Logistische Wachstumsmodelle

Logistische Wachstumsmodelle sind eine Kombination aus exponentiellem und beschränktem Modell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional zum jeweiligen Wert N(t) und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze S.

Kontinuierlich logistisches Wachstumsmodell

Beim kontinuierlich logistischen Wachstumsmodell wächst der Bestand N(t) ausgehend von einem Startwert bzw. Anfangsbestand N₀ zur Zeit t=0 zunächst exponentiell, wobei der s-förmige Graph dann einen Wendepunkt hat, ab dem sich das Wachstum abschwächst um sich einem Sättigungswert S anzunähern. Der Wendepunkt einer logistischen Wachstumsfunktion liegt immer beim halben Sättigungswert. Im Wendepunkt einer Funktion hat diese das größte Wachstum.

\(N\left( t \right) = \dfrac{{{N_0} \cdot S}}{{{N_0} + \left( {S - {N_0}} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + \left( {\dfrac{S}{{{N_0}}} - 1} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + c \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}}}\)

• N(t) ... Bestand zur Zeit t
• N₀ ... Anfangsbestand, Bestand zur Zeit t=0, Startwert N(0)
• k ... Wachstumskonstante
• S ... Sättigungswert, -schranke, -grenze

Abbildung zur Veranschaulichung der Zusammenhänge bei logistischem Wachstum

Bild

Beispiel Grippe: Einige Touristen N₀ bringen Grippeviren ins Land. Schnell infizieren sich immer mehr Menschen. Auf Grund von Immunisierung und dem Umstand dass die Wahrscheinlichkeit dass ein kranker Mensch einem noch gesunden Menschen begegnet mit Zunehmender Ausbreitung immer kleiner wird,  bremst sich der Zuwachs zunehmend ein, sodass am Ende der Epidemie eine bestimmte Anzahl der Bevölkerung S angesteckt ist. Die maximale Anzahl an Grippekranken ist natürlich mit 100% der Bevölkerung nach oben begrenzt.

Diskretes logistisches Wachstumsmodell

Beim diskreten logistischen Wachstumsmodell ist die absolute Änderung je Schritt proportional zum jeweiligen Wert und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze.

\(\Delta {y_n} = k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)

Rekursive Form:
\({y_{n + 1}} = {y_n} + k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)