Aufgabe 4018
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
Teil c
Der Graph der Polynomfunktion p mit \(p\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2} + d \cdot x + e\) verläuft durch die folgenden 5 Punkte:
\(\eqalign{ & A = \left( {0\left| {1,8} \right.} \right) \cr & B = \left( {0,25\left| {2,1} \right.} \right) \cr & C = \left( {0,5\left| {0,4} \right.} \right) \cr & D = (0,75\left| {0,7)} \right. \cr & E = \left( {1\left| {0,5} \right.} \right) \cr} \)
mit
x | horizontale Koordinate in Metern (m) |
p(x) | vertikale Koordinate in Millimetern (mm) |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten dieser Polynomfunktion p auf.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Koeffizienten dieser Polynomfunktion p.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir benötigen 5 Gleichungen um die 5 Variablen (=Koeffizienten) a, b, c, d und e ermitteln zu können. Wir setzen daher die x- und y-Werte der 5 Punkte A, B, C, D und E in die Polynomfunktion 4. Grades wie folgt ein:
\(\begin{array}{l} p\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2} + d \cdot x + e\\ Gl\,1:\,\,\,\,\,p\left( {x = 0} \right) = a \cdot {0^4} + b \cdot {0^3} + c \cdot {0^2} + 0 \cdot x + e = 1,8 \Rightarrow e = 1,8\\ Gl\,2:\,\,\,\,\,p\left( {x = 0,25} \right) = a \cdot {0,25^4} + b \cdot {0,25^3} + c \cdot {0,25^2} + d \cdot 0,25 + 1,8 = 2,1\\ Gl\,3:\,\,\,\,\,p\left( {x = 0,5} \right) = a \cdot {0,5^4} + b \cdot {0,5^3} + c \cdot {0,5^2} + d \cdot 0,5 + 1,8 = 0,4\\ Gl\,4:\,\,\,\,\,p\left( {x = 0,75} \right) = a \cdot {0,75^4} + b \cdot {0,75^3} + c \cdot {0,75^2} + d \cdot 0,75 + 1,8 = 0,7\\ Gl\,5:\,\,\,\,\,p\left( {x = 1} \right) = a \cdot {1^4} + b \cdot {1^3} + c \cdot {1^2} + 0 \cdot 1 + 1,8 \Rightarrow a + b + c + d + 1,8 = 0,5 \end{array}\)
Die Lösung eines derartigen Gleichungssystems kann entweder mittels Geogebra oder mit Hilfe eines Taschenrechners erfolgen.
2. Teilaufgabe
Die Berechnung der Koeffizienten des Gleichungssystems aus der 1. Teilaufgabe erfolgt mittels Technologieeinsatz und ergibt:
\(\eqalign{ & a = - 69,333 \cr & b = 146,667 \cr & c = - 95,6667 \cr & d = 17,0333 \cr & e = 1,8 \cr} \)
Geogebra:
- Alle 5 Gleichungen eingeben.
- Man hält die "Strg" Taste gedrückt und wählt alle 5 Gleichungen aus.
- Man drückt auf das 5. Icon "Löse Gleichungen exakt"
- In der 6. Zeile kann man die Werte der 5 Variablen ablesen
Anmerkung: Sollte das "Dach-Symbol" nicht auf der Tastatur sein: Das Symbol ^ welches vor dem Exponenten steht wählt man grafisch aus oder man drückt die "Alt" Taste und gibt im Ziffernblock 94 ein
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & A:\,\,\,\,\,p\left( {x = 0} \right) = a \cdot {0^4} + b \cdot {0^3} + c \cdot {0^2} + 0 \cdot x + e = 1,8 \Rightarrow e = 1,8 \cr & \cr & B:\,\,\,\,\,p\left( {x = 0,25} \right) = a \cdot {0,25^4} + b \cdot {0,25^3} + c \cdot {0,25^2} + d \cdot 0,25 + 1,8 = 2,1 \cr & C:\,\,\,\,\,p\left( {x = 0,5} \right) = a \cdot {0,5^4} + b \cdot {0,5^3} + c \cdot {0,5^2} + d \cdot 0,5 + 1,8 = 0,4 \cr & D:\,\,\,\,\,p\left( {x = 0,75} \right) = a \cdot {0,75^4} + b \cdot {0,75^3} + c \cdot {0,75^2} + d \cdot 0,75 + 1,8 = 0,7 \cr & E:\,\,\,\,\,p\left( {x = 1} \right) = a \cdot {1^4} + b \cdot {1^3} + c \cdot {1^2} + 0 \cdot 1 + 1,8 \Rightarrow a + b + c + d + 1,8 = 0,5 \cr} \)
2. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & a = - 69,333 \cr & b = 146,667 \cr & c = - 95,6667 \cr & d = 17,0333 \cr & e = 1,8 \cr} \)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1× A: Für das richtige Aufstellen des Gleichungssystems (KA)
2. Teilaufgabe
1 × B: Für das richtige Ermitteln der Koeffizienten (KB)