Aufgabe 1007
AHS - 1_007 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung einer Polynomfunktion
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit \(f\left( x \right) = 7{x^3} - 5{x^2} + 2x - 3\)
Aufgabenstellung:
Bilden Sie die 1. und die 2. Ableitung der Funktion f!
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren an und erhalten:
\(f\left( x \right) = 7{x^3} - 5{x^2} + 2x - 3\)
\(f'\left( x \right) = 3 \cdot 7{x^{3 - 1}} - 5 \cdot 2{x^{2 - 1}} + 2 \cdot {x^{1 - 1}} = 21{x^2} - 10x + 2\)
\(f''\left( x \right) = 2 \cdot 21{x^{2 - 1}} - 1 \cdot 10{x^{1 - 1}} = 42x - 10\)
folgende Regeln kamen zur Anwendung:
Konstanten- oder Faktorregel
\(\eqalign{ & c \cdot f\left( x \right) \cr & c \cdot f'\left( x \right) \cr}\)
Exponentialfunktionen differenzieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a \cr}\)
Summen- bzw. Differenzenregel
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right) \cr}\)
Potenzen differenzieren
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = {x^n} \cr & y' = f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 21{x^2} - 10x + 2\\ f''\left( x \right) = 42x - 10 \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn die 1. und die 2. Ableitung richtig angegeben sind.