Aufgabe 1019
AHS - 1_019 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktionen
Die folgenden Aussagen beschreiben Eigenschaften von Polynomfunktionen f mit \(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} {\text{ mit }}n \in \mathbb{N}\)
- Aussage 1: Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle.
- Aussage 2: Jede Polynomfunktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle.
- Aussage 3: Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Extremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3.
- Aussage 4: Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Extremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle.
- Aussage 5: Jede Polynomfunktion, deren Grad größer als 3 ist, hat mindestens eine lokale Extremstelle.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil die maximale Anzahl der Wendestellen gleich dem Grad der Funktion minus 2 entspricht
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil die Anzahl der Nullstellen gleich dem Grad der Funktion ist, wenn man die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit zählt.
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil die maximale Anzahl der Extremstellen gleich dem Grad der Funktion minus 1 entspricht
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil sich zwischen (2 Extremstellen) einem Hoch- und einem Tiefpunkt die Krümmung ändert und es daher an der Übergangstelle einen Wendepunkt geben muss
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil es mit \(f\left( x \right) = {x^5}\) eine Funktion als Gegenbeispiel gibt, deren Funktionswerte von - Unendlich nach + Unendlich ohne lokaler Extremstelle verläuft
Wir haben dabei folgendes Wissen über Polynomfunktionen angewendet:
Polynomfunktionen n-ten Grades
\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
- Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)
- Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.
- Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)
- Extremstellen: Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion minus 1
- Wendestellen: Maximale Anzahl der Wendestellen = Grad der Funktion minus 2
- konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn genau die drei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.