Aufgabe 4297
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Klimawandel und Ozon - Aufgabe A_225
Teil b
Bei einer Messstation im Bereich des südlichen Polarkreises kann die Ozonmenge pro Quadratmeter in Abhängigkeit von der Zeit für einen bestimmten Zeitraum näherungsweise durch die Funktion N beschrieben werden:
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {0,9917^t}\)
- t ... Zeit in Jahren
- N(t) ... Ozonmenge pro Quadratmeter zur Zeit t
- N0 ... Ozonmenge pro Quadratmeter zur Zeit t = 0
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Ozonmenge pro Quadratmeter jährlich abnimmt.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Die Gleichung \(0,5 = {0,9917^t}\) wird gelöst.
Beschreiben Sie die Bedeutung der Lösung dieser Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Es liegt eine Exponentialfunktion vom Typ \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) vor.
- c bzw. N0 ist dabei der Anfangswert bzw. der Streckungsfaktor
- a bzw. 0,9917 ist dabei ein Maß für die relative (Zu- oder) Abnahme
- da a zwischen Null und 1 liegt, muss die Funktion monoton fallend sein
- (1-a) entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
\(\left( {1 - a} \right) = \left( {1 - 0,9917} \right) = 0,0083 \buildrel \wedge \over = 0,83\% \)
→ Die Ozonmenge pro Quadratmeter nimmt jährlich um 0,83% ab.
2. Teilaufgabe:
Wir vergleichen die gegebene Exponentialfunktion mit dieser konkreten Exponentialfunktion:
\(\begin{array}{l} N\left( t \right) = {N_0} \cdot {0,9917^t}\\ 0,5 = 1 \cdot {0,9917^t} \end{array}\)
Wir sehen, dass N0=1 bzw. N0 entspricht 100% angenommen wurde und dass N(t)=0,5 gilt. Wir können die Antwort daher wie folgt formulieren:
Das t aus der Gleichung \(0,5 = {0,9917^t}\) entspricht der Halbwertszeit der gegebenen Funktion.
bzw.
→ Zur berechneten Zeit t hat sich die Ozonmenge pro Quadratmeter halbiert (Halbwertszeit).
Nicht gefragt, aber so einfach kann man sich die konkrete Halbwertszeit ausrechnen:
\(\begin{array}{l} 0,5 = {0,9917^t}\,\,\,\,\,\ln \\ \ln (0,5) = \ln (0,9917) \cdot t\\ t = \dfrac{{\ln \left( {0.5} \right)}}{{\ln (0.9917)}} \approx 83,1647\\ \\ {\rm{Probe:}}\\ {0,9917^{83,1647}} \approx 0,5 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die Ozonmenge pro Quadratmeter nimmt jährlich um 0,83% ab.
2. Teilaufgabe:
Zur berechneten Zeit t hat sich die Ozonmenge pro Quadratmeter halbiert (Halbwertszeit).
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × C1: für das richtige Ermitteln der jährlichen Abnahme in Prozent (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × C2: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)