Aufgabe 4270

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sonnenlicht und Vitamin D - Aufgabe A_300

Für die Bildung von Vitamin D in der Haut ist Sonnenlicht nötig. 

Teil b

Die Vitamin-D-Konzentration in Claudias Blut sinkt ab Herbstbeginn und lässt sich durch die Funktion N beschreiben.
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - 0,0173 \cdot t}}\)
 

  • t ... Zeit ab Herbstbeginn in Tagen
  • N(t) ... Vitamin-D-Konzentration in Claudias Blut zur Zeit t in Nanogramm pro Milliliter (ng/ml)
  • N0 ... Vitamin-D-Konzentration in Claudias Blut zu Herbstbeginn in ng/ml

 

Der Körper ist ausreichend mit Vitamin D versorgt, wenn dessen Konzentration im Blut mindestens 30 ng/ml beträgt. Claudia mochte wissen, wie hoch die Vitamin-D-Konzentration im Blut zu Herbstbeginn mindestens sein muss, damit ihr Körper nach 60 Tagen noch ausreichend mit Vitamin D versorgt ist.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die dafür notwendige Vitamin-D-Konzentration zu Herbstbeginn.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Im obigen Modell beträgt die Halbwertszeit beim Abbau von Vitamin D in Claudias Körper 40 Tage.

Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]

[0 / 1 P.]

 

  • Aussage 1: Nach 80 Tagen ist noch die Hälfte von N0 vorhanden.
  • Aussage 2: Nach 100 Tagen ist noch ein Drittel von N0 vorhanden.
  • Aussage 3: Nach 120 Tagen ist noch ein Viertel von N0 vorhanden.
  • Aussage 4: Nach 140 Tagen ist noch ein Achtel von N0 vorhanden.
  • Aussage 5: Nach 160 Tagen ist noch ein Sechzehntel von N0 vorhanden.

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Aus der Angabe können wir entnehmen, dass 
\(N(t = 60) = 30\)

gelten muss. Wir setzen daher in die gegebene Gleichung ein und errechnen das gesuchte N0 wir folgt:

\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - 0,0173 \cdot t}} \cr & N(t = 60) = {N_0} \cdot {e^{ - 0,0173 \cdot 60}} = 30 \cr & {N_0} \cdot {e^{ - 1.038}} = 30 \cr & {N_0} = \dfrac{{30}}{{{e^{ - 1,038}}}} \approx 84,7069 \cr} \)

Technologieeinsatz: Wolfram Alpha: 30/(e^(-1.038))

→ Die Vitamin-D-Konzentration im Blut zu Herbstbeginn muss (mindestens) rund 85 ng/ml betragen.

 

2. Teilaufgabe:

Wir behelfen uns mit einer Wertetabelle für die Halbwertszeiten:

\(\eqalign{ & t = 40 \to \dfrac{1}{2} \cr & t = 40 + 40 = 80 \to \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \cr & t = 80 + 40 = 120 \to \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \cr & t = 120 + 40 = 160 \to \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{16}} \to {\text{ Aussage 5}} \cr} \)

Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.

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Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe

Die Vitamin-D-Konzentration im Blut zu Herbstbeginn muss (mindestens) rund 85 ng/ml betragen.

2. Teilaufgabe

  • Aussage 1: falsch
  • Aussage 2: falsch
  • Aussage 3: falsch
  • Aussage 4: falsch
  • Aussage 5: richtig

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe

Ein Punkt für das richtige Berechnen der notwendigen Vitamin-D-Konzentration zu Herbstbeginn.

2. Teilaufgabe

Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.