Parameter von Funktionen
Formel
Parameterfunktionen
Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion.
Parameter einer Sinusfunktion
Über Parameter kann die Form von Funktionen verändert werden.
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x + c} \right) + d\)
- Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude.
- Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
- Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
- Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Funktion in Richtung der y-Achse.
Funktionsschar
Eine Schar ist eine Anzahl von Funktionsgraphen, die jeweils aus einer gegebenen Funktionsgleichung mit veränderlichen Parametern hervorgehen.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Aktuelle Lerneinheit
Parameter von Funktionen | Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Wichtige Funktionswerte | Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. |
Grad einer Funktion | Der Grad einer Funktion ist gleich groß der Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x. |
Polynomfunktionen n-ten Grades | Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. |
Logarithmusfunktionen | Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion |
Wurzelfunktionen | Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x |
Potenzfunktionen | Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt. |
Natürliche Exponentialfunktion | Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis |
Exponentialfunktion | Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. |
Gebrochenrationale Funktionen | Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) sind zu den Potenzen der Argumenten x indirekt proportional. |
Quadratische Funktion | Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. |
Intervallweise lineare Funktion | Bei intervallweisen linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definieren Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. |
Lineare Funktion | Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Achsenabschnitt auf der y-Achse ist. |
Nullstelle einer Funktion | Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). |
Periodische Funktion | Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird
|
Gerade und ungerade Funktionen | Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. |
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen | Umkehrbar eindeutig ist eine Funktion dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge eindeutig ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge genau ein Element x der Definitionsmenge gehört. |
Taylorpolynom | Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1284
AHS - 1_284 & Lehrstoff: FA 6.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Periodizität
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen f1, f2 und f3 von Funktionen der Form \(f\left( x \right) = \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
\({f_1} = \sin \left( x \right);\) \({f_2} = \sin \left( {2x} \right);\) \({f_3} = \sin \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie jeweils die der Funktion entsprechende primitive (kleinste) Periode p!
Aufgabe 1285
AHS - 1_285 & Lehrstoff: FA 6.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinusfunktion
Die Funktion cos(x) kann auch durch eine allgemeine Sinusfunktion beschrieben werden.
- Aussage 1: \(sin \left( {x + 2\pi } \right)\)
- Aussage 2: \(sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
- Aussage 3: \(sin \left( {\dfrac{x}{2} - \pi } \right)\)
- Aussage 4: \(sin \left( {\dfrac{{x - \pi }}{2}} \right)\)
- Aussage 5: \(sin \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Aufgabenstellung
Welche der obenstehend angeführten Sinusfunktionen beschreiben die Funktion cos(x)? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Funktionen an!
Aufgabe 1066
AHS - 1_066 & Lehrstoff: FA 6.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wirkung der Parameter einer Sinusfunktion
Gegeben ist eine Sinusfunktion der Art \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\). Dabei beeinflussen die Parameter a und b das Aussehen des Graphen von f im Vergleich zum Graphen von \(g\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)
A | Dehnung des Graphen der Funktion entlang der x-Achse auf das Doppelte |
B | Phasenverschiebung um 2 |
C | Doppelte Frequenz |
D | Streckung entlang der y-Achse auf das Doppelte |
E | Halbe Amplitude |
F | Verschiebung entlang der y-Achse um –2 |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Parameterwerten die entsprechenden Auswirkungen (aus A bis F) auf das Aussehen von f im Vergleich zu g zu!
Deine Antwort | |
\(a = 2\) | |
\(a = \dfrac{1}{2}\) | |
\(b = 2\) | |
\(b = \dfrac{1}{2}\) |
Aufgabe 1458
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter einer Sinusfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion s mit der Gleichung \(s\left( x \right) = c \cdot \sin \left( {d \cdot x} \right)\) mit \(c,d \in {{\Bbb R}^ + }\) im Intervall \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\)
Aufgabenstellung:
Erstellen Sie im obigen Koordinatensystem eine Skizze eines möglichen Funktionsgraphen der Funktion s1 mit \({s_1}\left( x \right) = 2c \cdot \sin \left( {2d \cdot x} \right)\) im Intervall \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\)
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Aufgabe 1410
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinusfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) mit \(a,b \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die für den abgebildeten Graphen passenden Parameterwerte von f an!
a =
b =
Aufgabe 1338
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinusfunktion
Im untenstehenden Diagramm sind die Graphen zweier Funktionen f und g dargestellt.
Die Funktion f hat die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) mit den reellen Parametern a und b. Wenn diese Parameter in entsprechender Weise verändert werden, erhält man die Funktion g.
Aufgabenstellung:
Wie müssen die Parameter a und b verändert werden, um aus f die Funktion g zu erhalten? Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Um den Graphen von g zu erhalten, muss a ___1___ und b ___2___ .
1 | |
verdoppelt werden | A |
halbiert werden | B |
gleich bleiben | C |
2 | |
verdoppelt werden | I |
halbiert werden | II |
gleich bleiben | III |
Aufgabe 1086
AHS - 1_086 & Lehrstoff: FA 6.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Trigonometrische Funktionen skalieren
Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie in der obenstehenden Zeichnung die Skalierung in den vorgegebenen fünf Kästchen!
Aufgabe 6017
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Eigenschaften einer Sinusfunktion
Gegeben ist die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(f:x \mapsto \sin \left( {2x} \right)\).
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Amplitude der Funktion f an.
2. Teilaufgabe a.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Periode der Funktion f an.
3. Teilaufgabe a.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Wertemenge der Funktion f an.
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Aufgabe 4343
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutdruck - Aufgabe B_448
Teil b
Die zeitliche Entwicklung des sogenannten systolischen Blutdrucks einer Testperson wird durch eine Funktion f modelliert (siehe nachstehende Abbildung).
Die Funktion f wird beschrieben durch:
\(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} \cdot t} \right) + 135\)
t |
Zeit in h |
f(t) | systolischer Blutdruck zur Zeit t in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) |
a | Parameter |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Zeitangabe in das dafür vorgesehene Kästchen ein.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Bestimmen Sie den Parameter a.
[1 Punkt]
Der Graph der Funktion f1 in der obigen Abbildung entsteht durch vertikale Verschiebung des Graphen von f.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ausgehend von f eine Funktionsgleichung für f1.
[1 Punkt]
Aufgabe 4443
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Meerwasser und mehr Wasser - Aufgabe B_509
Teil c
Der innerhalb eines Tages schwankende Wasserstand in einem bestimmten Hafenbecken kann näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden. Der niedrigste Wasserstand wird zur Zeit t = 0 erreicht und beträgt 2 m, der höchste Wasserstand beträgt 4 m.
\(f\left( t \right) = a + b \cdot \cos \left( {0,507 \cdot t} \right)\)
t |
Zeit nach dem niedrigsten Wasserstand in h |
f(t) |
Wasserstand zur Zeit t in m |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Geben Sie die Parameter a und b der Funktion f an.
[0 / 1 / 2 P.]